Ведём доказательство. Внутри единичного куба а...d1 исследуем угол, образованный прямыми

Морской_Корабль

64

Для того чтобы решить данную задачу, мы должны составить уравнение плоскости АВСD, которая содержит прямые АМ, ВС и BD. Затем мы исследуем угол между прямыми АB и АС.

Пусть координаты точек А, В, С и D равны: A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0) и D(0,1,0).

Зная координаты точек, мы можем составить уравнение плоскости АВСD. Для этого мы можем использовать векторное произведение двух векторов, лежащих на плоскости.

Вектор АВ можно получить, вычитая координаты точки А из координат точки В:

$\overrightarrow{AB}=(1-0,0-0,0-0)=(1,0,0)$.

Вектор АС можно получить, вычитая координаты точки А из координат точки С:

$\overrightarrow{AC}=(1-0,1-0,0-0)=(1,1,0)$.

Теперь мы можем получить векторное произведение векторов АВ и АС:

$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(1,0,0)\times (1,1,0)$.

Для вычисления векторного произведения, мы можем использовать формулу, в которой компоненты i, j, k являются коэффициентами перед соответствующими векторами:

$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(0,0,1)$.

Теперь, имея нормаль к плоскости, мы можем записать уравнение плоскости АВСD в общей форме.

Общее уравнение плоскости имеет вид:

$Ax+By+Cz+D=0$.

Подставляя известные значения, мы получаем:

$0x+0y+1z+D=0$.

Так как точка А находится на плоскости, то координаты этой точки будут удовлетворять уравнению. Подставляя значения координат точки А, мы получаем:

$0+0+0+D=0$,

$D=0$.

Итак, уравнение плоскости АВСD имеет вид:

$$z=0$$.

Теперь мы можем рассмотреть угол между прямыми АB и АС внутри куба. Для этого нам понадобится вычислить косинус угла между векторами, соединяющими точки А и В, и точки А и С, и затем применить к ним формулу для вычисления угла между векторами.

Сначала найдем длины векторов АB и АС:

$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(1-0{)}^2+(0-0{)}^2+(0-0{)}^2}=\sqrt{1}=1$.

$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{(1-0{)}^2+(1-0{)}^2+(0-0{)}^2}=\sqrt{2}$.

Теперь найдем скалярное произведение векторов АB и АС:

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=(1,0,0)\cdot (1,1,0)=1\cdot 1+0\cdot 1+0\cdot 0=1$.

Теперь мы можем вычислить косинус угла между векторами:

$\cos \theta =\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|}=\frac{1}{1\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Теперь нам остается только воспользоваться формулой для вычисления угла между векторами:

$\theta =\arccos \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.

Подставляя числовое значение, мы получаем:

$\theta =\arccos \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\approx 0.7854$ радиан.

Таким образом, угол между прямыми АB и АС внутри единичного куба составляет около 0.7854 радиана.