Ведём доказательство. Внутри единичного куба а...d1 исследуем угол, образованный прямыми

Морской_Корабль

64

Для того чтобы решить данную задачу, мы должны составить уравнение плоскости АВСD, которая содержит прямые АМ, ВС и BD. Затем мы исследуем угол между прямыми АB и АС.

Пусть координаты точек А, В, С и D равны: A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0) и D(0,1,0).

Зная координаты точек, мы можем составить уравнение плоскости АВСD. Для этого мы можем использовать векторное произведение двух векторов, лежащих на плоскости.

Вектор АВ можно получить, вычитая координаты точки А из координат точки В:

\(\vec{AB} = (1-0, 0-0, 0-0) = (1, 0, 0)\).

Вектор АС можно получить, вычитая координаты точки А из координат точки С:

\(\vec{AC} = (1-0, 1-0, 0-0) = (1, 1, 0)\).

Теперь мы можем получить векторное произведение векторов АВ и АС:

\(\vec{AB} \times \vec{AC} = (1, 0, 0) \times (1, 1, 0)\).

Для вычисления векторного произведения, мы можем использовать формулу, в которой компоненты i, j, k являются коэффициентами перед соответствующими векторами:

\(\vec{AB} \times \vec{AC} = (0, 0, 1)\).

Теперь, имея нормаль к плоскости, мы можем записать уравнение плоскости АВСD в общей форме.

Общее уравнение плоскости имеет вид:

\(Ax + By + Cz + D = 0\).

Подставляя известные значения, мы получаем:

\(0x + 0y + 1z + D = 0\).

Так как точка А находится на плоскости, то координаты этой точки будут удовлетворять уравнению. Подставляя значения координат точки А, мы получаем:

\(0 + 0 + 0 + D = 0\),

\(D = 0\).

Итак, уравнение плоскости АВСD имеет вид:

\[z = 0\].

Теперь мы можем рассмотреть угол между прямыми АB и АС внутри куба. Для этого нам понадобится вычислить косинус угла между векторами, соединяющими точки А и В, и точки А и С, и затем применить к ним формулу для вычисления угла между векторами.

Сначала найдем длины векторов АB и АС:

\(|\vec{AB}| = \sqrt{(1-0)^2 + (0-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{1} = 1\).

\(|\vec{AC}| = \sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{2}\).

Теперь найдем скалярное произведение векторов АB и АС:

\(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (1, 0, 0) \cdot (1, 1, 0) = 1\cdot 1 + 0\cdot 1 + 0\cdot 0 = 1\).

Теперь мы можем вычислить косинус угла между векторами:

\(\cos \theta = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\).

Теперь нам остается только воспользоваться формулой для вычисления угла между векторами:

\(\theta = \arccos \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\).

Подставляя числовое значение, мы получаем:

\(\theta = \arccos \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \approx 0.7854\) радиан.

Таким образом, угол между прямыми АB и АС внутри единичного куба составляет около 0.7854 радиана.