Визначте прискорення вільного падіння на висоті, що становить три земних радіуси вище поверхні Землі

Vetka

59

Чтобы вычислить ускорение свободного падения на высоте, равной трем радиусам Земли, нам понадобится использовать закон всемирного тяготения и формулу для ускорения свободного падения. Давайте рассмотрим каждый шаг подробно.

1. Закон всемирного тяготения, сформулированный Исааком Ньютоном, говорит, что сила, с которой два объекта взаимодействуют друг с другом, прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Формула для этого закона:

\[F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\]

где F - сила гравитационного притяжения между двумя объектами, G - гравитационная постоянная, \(m_1\) и \(m_2\) - массы объектов, а r - расстояние между ними.

2. Формула для ускорения свободного падения:

\[g = \frac{{GM}}{{r^2}}\]

где g - ускорение свободного падения, G - гравитационная постоянная, M - масса Земли и r - радиус Земли.

3. Поскольку в задаче нам дано, что высота равна трем радиусам Земли, то мы можем записать это следующим образом:

\[r_1 = 3r\]

где \(r_1\) - высота над поверхностью Земли, а r - радиус Земли.

4. Теперь мы можем выразить ускорение свободного падения на высоте, расположенной выше поверхности Земли:

\[g_1 = \frac{{GM}}{{(3r)^2}}\]

5. Подставим значения гравитационной постоянной G и массы Земли M:

\[g_1 = \frac{{6,67430 \times 10^{-11}\, \text{м}^3\, \text{кг}^{-1}\,
\text{с}^{-2} \times 5,972 \times 10^{24}\, \text{кг}}}
{{(3r)^2}}\]

6. Упростим выражение:

\[g_1 = \frac{{39,98556 \times 10^{13}\, \text{м}^3\, \text{кг}^{-1}\,
\text{с}^{-2}}}
{{9r^2}}\]

7. Теперь мы можем вычислить ускорение свободного падения на данной высоте, подставив значение радиуса Земли:

\[g_1 = \frac{{39,98556 \times 10^{13}\, \text{м}^3\, \text{кг}^{-1}\,
\text{с}^{-2}}}
{{9 \times (6,371 \times 10^6\, \text{м})^2}}\]

8. Выполним вычисления:

\[g_1 \approx 8,854 \, \text{м/с}^2\]

Итак, ускорение свободного падения на высоте, равной трем радиусам Земли, составляет примерно 8,854 м/с².