Визначте радіус планети, яку відкрила космічна експедиція, яка має масу, що на 5 разів більше за масу Землі, при умові

Апельсиновый_Шериф

47

Для решения данной задачи мы можем использовать законы гравитации и связь между массой, радиусом и ускорением свободного падения на поверхности планеты.

Закон гравитации гласит, что сила гравитационного притяжения между двумя телами пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:
\[F = G \cdot \frac{{m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\],
где F - сила гравитационного притяжения, G - гравитационная постоянная, \(m_1\) и \(m_2\) - массы двух тел, r - расстояние между телами.

Ускорение свободного падения g на поверхности планеты также можно описать через ее массу M и радиус R, используя формулу:
\[g = \frac{{G \cdot M}}{{R^2}}\].

В нашей задаче масса планеты в 5 раз больше, чем масса Земли, поэтому можно записать соотношение массы планеты и массы Земли:
\(\frac{{M}}{{M_{\text{Земли}}}}} = 5\).

Приспособим вторую формулу для планеты и для Земли и сравним ускорение свободного падения:
\(\frac{{G \cdot M}}{{R^2}}} = \frac{{G \cdot M_{\text{Земли}}}}{{R_{\text{Земли}}^2}}\).

Так как гравитационная постоянная G и ускорение свободного падения на Земле g - постоянные значения, можно упростить выражение:
\(\frac{{M}}{{R^2}}} = \frac{{M_{\text{Земли}}}}{{R_{\text{Земли}}^2}}}.

Учитывая, что \(\frac{{M}}{{M_{\text{Земли}}}}} = 5\), мы можем выразить радиус планеты R через радиус Земли \(R_{\text{Земли}}}}:
\(\frac{{5 \cdot M_{\text{Земли}}}}{{R^2}}} = \frac{{M_{\text{Земли}}}}{{R_{\text{Земли}}^2}}\).

Упростив это уравнение, получаем:
\(5 \cdot R_{\text{Земли}}^2 = R^2\).

Чтобы найти отношение радиусов, возьмем квадратный корень от обоих частей уравнения:
\(\sqrt{5 \cdot R_{\text{Земли}}^2} = \sqrt{R^2}\),
\(R_{\text{планеты}} = \sqrt{5} \cdot R_{\text{Земли}}\).

Итак, радиус планеты, открытой космической экспедицией, будет равен \(\sqrt{5}\)-кратному радиусу Земли.