Во время 1-2 (см. рис. 1) гелий, состоящий из 3 моль, был охлажден до 10 °С. В результате этого объем гелия уменьшился

Barbos

44

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться уравнением состояния идеального газа:

\[PV = nRT\]

где:
P - давление газа,
V - объем газа,
n - количество вещества газа (в молях),
R - универсальная газовая постоянная,
T - абсолютная температура газа.

Для начала, давайте найдем исходные значения объема и давления гелия:

Из условия задачи мы узнаем, что исходный объем гелия составляет 3 моля. Также, в результате охлаждения, объем гелия уменьшился в 3 раза. То есть, новый объем гелия равен \(\frac{1}{3}\) исходного объема.

Исходное давление гелия не указано в условии задачи, но мы знаем, что оно повысилось в 2 раза. Тогда новое давление гелия равно \(2 \times P\), где \(P\) - неизвестное исходное давление.

Теперь у нас есть исходные и новые значения объема и давления гелия:

Исходный объем: \(V_1 = 3\) моль
Новый объем: \(V_2 = \frac{1}{3} \times V_1 = \frac{1}{3} \times 3 = 1\) моль

Исходное давление: \(P_1 = P\)
Новое давление: \(P_2 = 2 \times P_1 = 2P\)

Для определения изменения состояния гелия нам также понадобится изменение температуры. Но в условии задачи не указано ее значение. Поэтому мы не можем сразу решить задачу.

Чтобы определить изменение температуры, мы можем воспользоваться формулой для изменения объема газа при постоянном давлении:

\[\frac{V_2}{V_1} = \frac{T_2}{T_1}\]

где:
\(T_1\) - исходная температура газа,
\(T_2\) - новая температура газа.

Эту формулу можно переписать следующим образом:

\[T_2 = \frac{V_2}{V_1} \times T_1\]

Из условия задачи известно, что гелий был охлажден до 10 °C. При переводе в Кельвины это значение составляет \(T_1 = 10 + 273 = 283\) K.

Подставим известные значения в формулу и найдем новую температуру газа:

\[T_2 = \frac{1}{3} \times 283 = \frac{283}{3} \approx 94,33\) K

Теперь у нас есть все необходимые данные для решения задачи. Давайте найдем количество теплоты, отнятое от гелия в этом процессе.

Для этого мы можем воспользоваться первым законом термодинамики, который утверждает, что изменение внутренней энергии газа равно работе, совершенной над газом, плюс теплота, переданная газу:

\[\Delta U = Q + W\]

где:
\(\Delta U\) - изменение внутренней энергии,
\(Q\) - теплота, переданная газу,
\(W\) - работа, совершенная над газом.

В данной задаче гелий охладился, а значит, внутренняя энергия газа уменьшилась. Также, поскольку объем газа уменьшился, совершена работа над газом. Мы хотим найти количество отнятой теплоты, поэтому в данном случае работу можно считать отрицательной.

Теперь мы можем переписать уравнение в следующем виде:

\[\Delta U = -Q - W\]

При этом выражение для работы можно записать следующим образом:

\[W = P \cdot \Delta V\]

где:
\(\Delta V\) - изменение объема газа.

В нашем случае газ был сжат и объем уменьшился. Значит, \(\Delta V = V_2 - V_1 = 1 - 3 = -2\) моль.

Теперь мы можем подставить известные значения в уравнение:

\[\Delta U = -Q - W = -Q - P \cdot \Delta V\]

Из уравнения состояния идеального газа \(PV = nRT\) мы можем выразить давление \(P\) следующим образом:

\[P = \frac{nRT}{V}\]

Подставим это значение в выражение для работы:

\[W = \left(\frac{nRT}{V_1}\right) \cdot \Delta V\]

И затем в уравнение для изменения внутренней энергии:

\[\Delta U = -Q - \left(\frac{nRT}{V_1}\right) \cdot \Delta V\]

Теперь осталось только найти изменение внутренней энергии \(\Delta U\), чтобы найти количество отнятой теплоты \(Q\).

Из уравнения состояния идеального газа \(PV = nRT\) мы также можем выразить \(n\) через \(PV\):

\[n = \frac{PV}{RT}\]

Подставим это значение в выражение для изменения внутренней энергии:

\[\Delta U = -Q - \left(\frac{PRT}{V_1}\right) \cdot \Delta V\]

Далее, мы можем переписать уравнение для изменения внутренней энергии следующим образом:

\[\Delta U = \frac{3}{2} nRT - \frac{1}{2} nRT\]

А затем выразить изменение внутренней энергии через известные величины:

\[\Delta U = \frac{3}{2} \cdot \frac{PV_1}{RT} \cdot RT - \frac{1}{2} \cdot \frac{P \cdot 1}{RT} \cdot RT\]

\[\Delta U = \frac{3}{2}PV_1 - \frac{1}{2}P\]

Теперь мы можем подставить полученное выражение в уравнение для изменения внутренней энергии:

\[\Delta U = \frac{3}{2}PV_1 - \frac{1}{2}P = -Q - \left(\frac{PRT}{V_1}\right) \cdot \Delta V\]

И теперь нам нужно решить это уравнение относительно \(Q\).

В итоге после всех расчетов, мы приходим к следующему уравнению:

\[\frac{3}{2}PV_1 - \frac{1}{2}P = -Q + \left(\frac{PRT}{V_1}\right) \cdot \Delta V\]

Теперь осталось только решить это уравнение относительно \(Q\) и найти ответ.

Последний шаг на остается только сделать математические операции для нахождения \(Q\):

\[Q = \frac{3}{2}PV_1 - \frac{1}{2}P - \left(\frac{PRT}{V_1}\right) \cdot \Delta V\]

Подставим известные значения:

\[Q = \frac{3}{2} \cdot P \cdot 3 - \frac{1}{2} \cdot P - \left(\frac{P \cdot 8,31 \cdot 283}{3}\right) \cdot (-2)\]

Теперь осталось только выполнить математические операции, чтобы найти ответ.

\[Q = \frac{9}{2}P - \frac{1}{2}P + \frac{1666741}{3}P\]
\[Q = \frac{1666740}{3}P\]

Таким образом, количество теплоты, отнятое от гелия в этом процессе, равно \(\frac{1666740}{3}P\) килоджоулей, где \(P\) - исходное давление гелия. Чтобы получить точный числовой ответ, необходимо знать значение исходного давления газа, которое не указано в условии задачи.