вопрос: 1. В тетраэдре МАВС, где AB=AC и MB=MC, необходимо доказать, что ВС перпендикулярна AM. 2. Из точки
вопрос:
1. В тетраэдре МАВС, где AB=AC и MB=MC, необходимо доказать, что ВС перпендикулярна AM.
2. Из точки М до плоскости а проводятся перпендикуляр МО и две наклонные МА и М.В. Требуется найти проекции этих линий на плоскость а.
1. В тетраэдре МАВС, где AB=AC и MB=MC, необходимо доказать, что ВС перпендикулярна AM.
2. Из точки М до плоскости а проводятся перпендикуляр МО и две наклонные МА и М.В. Требуется найти проекции этих линий на плоскость а.
Kristina_4773 13
1. Доказательство перпендикулярности BC и AM в тетраэдре МАВС:Пусть N - середина отрезка BC. Так как AB = AC и MB = MC, то треугольники ABM и ACM равнобедренные.
Так как MB = MC, то у них также равны их высоты, опущенные из вершин A и M соответственно. Обозначим эти высоты как h1 и h2.
Пусть h1 - высота, опущенная из вершины A на BC, а h2 - высота, опущенная из вершины M на BC.
Тогда треугольник BAM подобен треугольнику AMN по определению подобия треугольников, так как у них соответствующие углы равны.
Так как высоты h1 и h2 подобных треугольников всегда пропорциональны и равным множителем пропорциональности является отношение длин отрезков AM и AN, то можно записать следующее уравнение:
\(\frac{h2}{h1} = \frac{AM}{AN}\)
Так как треугольник ABM равнобедренный и AM является медианой, то отрезок AN является высотой, а значит, отношение длин отрезков AM и AN равно 2:1:
\(\frac{AM}{AN} = \frac{2}{1}\)
Тогда получаем:
\(\frac{h2}{h1} = \frac{2}{1}\)
Из этого следует, что h2 = 2h1.
То есть высота, опущенная из вершины M на сторону BC, равняется в два раза высоте, опущенной из вершины A на сторону BC.
Но по свойству высоты в треугольнике ВСМ, высота, опущенная из вершины M на сторону BC, является высотой высоты AB (то есть отрезка CN, который равен h1).
Таким образом, высоты AB и BC равны и лежат на одной прямой, а значит, отрезок BC перпендикулярен отрезку AM. Доказательство завершено.
2. Найдем проекции линий на плоскость:
Первая линия - перпендикуляр МО, его проекция на плоскость есть сама линия МО, так как перпендикулярные линии образуют равные проекции.
Вторая линия - наклонная МА, ее проекцией на плоскость а будет отрезок Аа (луч), ибо проекция наклонной линии - это перпендикуляр, опущенный из вершины М на плоскость а.
Третья линия - наклонная МВ, ее проекцией на плоскость а будет отрезок Ва (луч), аналогично второй линии.
Таким образом, проекции линий МО, МА и МВ на плоскость а являются отрезками МО, Аа и Ва соответственно.