вопрос: Каков угол между векторами a=2m+4n и b=m-n, если m и n - единичные векторы и угол между ними равен?

Sverkayuschiy_Dzhentlmen

58

Для вычисления угла между векторами \(a\) и \(b\) нам понадобится использовать скалярное произведение этих векторов. Определим сначала векторы \(a\) и \(b\) в их координатной форме:

\(a = 2m + 4n\)
\(b = m - n\)

Так как \(m\) и \(n\) - единичные векторы, их длина равна 1.

Скалярное произведение двух векторов \(a\) и \(b\) вычисляется по формуле:

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta)\),

где \(|\vec{a}|\) и \(|\vec{b}|\) - длины векторов \(a\) и \(b\) соответственно, а \(\theta\) - угол между ними.

В нашем случае, длины векторов \(a\) и \(b\) равны:

|\vec{a}| = |2m + 4n| = \sqrt{(2 \cdot 1)^2 + (4 \cdot 1)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
|\vec{b}| = |m - n| = \sqrt{(1 \cdot 1)^2 + (-1 \cdot 1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}

Теперь, чтобы найти угол \(\theta\) между векторами \(a\) и \(b\), нам нужно решить уравнение скалярного произведения:

\(2\sqrt{5} \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(\theta) = 2 \cdot 1 + 4 \cdot (-1)\),

\(2\sqrt{10} \cdot \cos(\theta) = 2 - 4\),

\(2\sqrt{10} \cdot \cos(\theta) = -2\).

Теперь делим обе части уравнения на \(2\sqrt{10}\):

\(\cos(\theta) = -\frac{2}{2\sqrt{10}} = -\frac{1}{\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10}\).

Теперь найдём значение угла \(\theta\) с помощью функции арккосинуса:

\(\theta = \arccos\left(-\frac{\sqrt{10}}{10}\right)\).

Используя калькулятор или таблицу значений тригонометрических функций, мы можем найти, что \(\theta \approx 2.2143\) радиана или около 126.87 градусов.

Итак, угол между векторами \(a\) и \(b\), если \(m\) и \(n\) - единичные векторы и угол между ними равен, составляет примерно 126.87 градусов.