Возможно ли нарисовать 11 отрезков на плоскости, чтобы каждый пересекался именно с пятью другими отрезками?

Letayuschiy_Kosmonavt

65

Да, возможно нарисовать 11 отрезков на плоскости таким образом, чтобы каждый пересекался именно с пятью другими отрезками.

Давайте посмотрим на это пошагово.

Шаг 1: Нарисуем первый отрезок AB.

Шаг 2: На каждом из концов отрезка AB нарисуем два отрезка, пересекающихся с AB и друг с другом. Получим уже пять отрезков.

Шаг 3: Продолжим процедуру, на каждом из новых концов отрезков нарисуем еще два отрезка, пересекающихся с данным отрезком и друг с другом. Повторяем этот шаг пять раз. На каждом шаге мы получаем по два новых отрезка.

Шаг 4: После пятого шага у нас будет 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 отрезок.

Шаг 5: Нам нужно уменьшить количество отрезков до 11, поэтому удалим 20 из нарисованных отрезков. Мы можем, например, удалить один отрезок из каждой пары отрезков, которые пересекаются друг с другом.

После удаления лишних отрезков мы получим 11 отрезков, каждый из которых пересекается с пятью другими отрезками, удовлетворяя условию задачи.

Вот одно из возможных представлений на плоскости для этой задачи:

\[A-B-C-D-E-F-G-H-I-J-K\]

Где каждая буква обозначает конец отрезка, а дефисы показывают, что отрезки пересекаются между собой.

Надеюсь, это решение ясно объясняет условие задачи и дает понятное представление о возможном решении.