Каков радиус вписанной окружности в треугольник со стороной, равной 18 корню из трех? Какова длина боковой стороны

Martyshka

24

Для начала, давайте посмотрим на определение вписанной окружности. Вписанная окружность треугольника касается всех трех сторон треугольника. Давайте обозначим радиус вписанной окружности как \(r\), а длины сторон треугольника как \(a\), \(b\), и \(c\), где \(a = 18\sqrt{3}\) - данная сторона треугольника.

Основное свойство вписанной окружности заключается в том, что отрезки, проведенные от вершин треугольника до точек касания окружности с его сторонами, являются радиусами вписанной окружности. Пусть \(d_1\), \(d_2\), и \(d_3\) - это длины таких отрезков.

Теперь давайте рассмотрим треугольник. Можем провести высоту треугольника, которая будет перпендикулярна стороне \(a\) и проходить через вершину треугольника, противоположную стороне \(a\). Данная высота будет делить сторону \(a\) на две равные части. Обозначим длину высоты как \(h\), а половину стороны \(a\) как \(s\).

По теореме Пифагора, можем записать уравнение для прямоугольного треугольника, образованного половиной стороны \(a\), половиной стороной \(b\) и высотой \(h\):
\[(s)^2 + (h)^2 = (r)^2\]

Также, зная, что длина высоты равна половине стороны \(c\) минус половина стороны \(b\), можем записать следующее:
\[h = \frac{1}{2}(c - b)\]

Теперь, опираясь на данные из условия задачи, подставим значения в наше уравнение для прямоугольного треугольника:
\[(s)^2 + \left(\frac{1}{2}(c - b)\right)^2 = (r)^2\]

Мы также знаем, что сумма длин сторон треугольника равна периметру треугольника, а периметр треугольника равен произведению радиуса вписанной окружности и полупериметра треугольника:
\[a+b+c = 2\pi r\]
\[18\sqrt{3} + b + c = 2\pi r\]
\[b + c = 2\pi r - 18\sqrt{3}\]

Теперь у нас есть система уравнений:
\[(s)^2 + \left(\frac{1}{2}(c - b)\right)^2 = (r)^2\]
\[b + c = 2\pi r - 18\sqrt{3}\]

Подставим значения для \(s\), \(b\) и \(c\):
\[\left(\frac{18\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}(c - b)\right)^2 = (r)^2\]
\[c + b = 2\pi r - 18\sqrt{3}\]

Решим первое уравнение:
\[\frac{324 \cdot 3}{4} + \left(\frac{1}{2}(c - b)\right)^2 = (r)^2\]
\[\frac{243}{4} + \frac{(c - b)^2}{4} = (r)^2\]
\[\frac{243 + (c - b)^2}{4} = (r)^2\]

Теперь решим систему уравнений методом подстановки. Заменим \(b + c\) во втором уравнении получившейся системы:
\[\frac{243 + (2\pi r - 18\sqrt{3} - b)^2}{4} = (r)^2\]

Упростим выражение:
\[\frac{243 + (2\pi r - 18\sqrt{3} - b)(2\pi r - 18\sqrt{3} - b)}{4} = (r)^2\]
\[\frac{243 + 4\pi^2 r^2 - 36\sqrt{3}\pi r - 36\sqrt{3}\pi r + 324 \cdot 3 + b^2 - 2b (2\pi r - 18\sqrt{3})}{4} = (r)^2\]
\[\frac{972 + 4\pi^2 r^2 - 72\sqrt{3}\pi r + b^2 - 4b\pi r + 36b\sqrt{3}}{4} = (r)^2\]

Упростим получившееся уравнение, раскрыв квадраты:
\[\frac{972 + 4\pi^2 r^2 - 72\sqrt{3}\pi r + 4\pi^2 r^2 - 72\sqrt{3}\pi r + b^2 - 4b\pi r + 36b\sqrt{3}}{4} = (r)^2\]
\[\frac{972 + 8\pi^2 r^2 - 144\sqrt{3}\pi r + b^2 - 4b\pi r + 36b\sqrt{3}}{4} = (r)^2\]

Теперь сгруппируем все родственные члены:
\[\frac{972 + 8\pi^2 r^2 - 144\sqrt{3}\pi r + b^2 - 4b\pi r + 36b\sqrt{3}}{4} - (r)^2 = 0\]
\[\frac{8\pi^2 r^2 - 144\sqrt{3}\pi r + b^2 - 4b\pi r + 36b\sqrt{3} + 972 - 4(r)^2}{4} = 0\]

Выразим \(b\) через \(r\):
\[b = 2\pi r - 18\sqrt{3} - c\]

---
המשימה הבאה היא לחקור את הפתרון של מערכת המשוואות. שימו לב שישנם שני משתנים פתוחים בבעייה, רדיוס המעגל החיצוני וקוטר המעגל הפנימי. כדי לקבל פתרון ספציפי, ייתכן ותצטרכו לקבל נתון נוסף ולהשתמש בתכונות של טרפז (אלכסונים שמטרתם יוצרת קטעים שווים במעגל הפנימי) זו המחרוזת.