Вугільний і мідний стрижні однакового перерізу з єднані послідовно. Яка повинна бути відносна довжина мідного стержня

Vladislav

27

Щоб опір з"єднання не залежав від температури, потрібно, щоб коефіцієнт теплового розширення вугільного стрижня був рівний коефіцієнту теплового розширення мідного стержня.

Коефіцієнт теплового розширення (α) визначає залежність зміни довжини тіла від зміни температури. Формула для розрахунку зміни довжини тіла при зміні температури має вигляд:

\[\Delta L = L_0 \cdot \alpha \cdot \Delta T\]

де \(\Delta L\) - зміна довжини тіла,
\(L_0\) - початкова довжина тіла,
\(\alpha\) - коефіцієнт теплового розширення,
\(\Delta T\) - зміна температури.

В нашому випадку, вугільний і мідний стрижні мають однаковий переріз, тому початкова довжина і коефіцієнт теплового розширення будуть однаковими для обох стрижнів. Позначимо коефіцієнт теплового розширення як \(\alpha\).

Для того, щоб опір з"єднання не залежав від температури, зміна довжини має бути однаковою для обох стрижнів. Тобто:

\(\Delta L_{\text{вугільного стрижня}} = \Delta L_{\text{мідного стрижня}}\)

Запишемо формули для зміни довжини обох стрижнів:

\(\Delta L_{\text{вугільного стрижня}} = L_{0_{\text{вугільного стрижня}}} \cdot \alpha \cdot \Delta T\)

\(\Delta L_{\text{мідного стрижня}} = L_{0_{\text{мідного стрижня}}} \cdot \alpha \cdot \Delta T\)

Оскільки зміна довжини має бути однаковою, можемо прирівняти вирази:

\(L_{0_{\text{вугільного стрижня}}} \cdot \alpha \cdot \Delta T = L_{0_{\text{мідного стрижня}}} \cdot \alpha \cdot \Delta T\)

Скоротимо на \(\alpha \cdot \Delta T\):

\(L_{0_{\text{вугільного стрижня}}} = L_{0_{\text{мідного стрижня}}}\)

Це означає, що початкова довжина обох стрижнів має бути однаковою, щоб опір з"єднання не залежав від температури. Застосовуючи до різних матеріалів стрижнів, відносна довжина мідного стержня в порівнянні з вугільним стержнем повинна бути такою ж, як відносна швидкість розширення обох матеріалів.

Оскільки вугільний і мідний стрижні мають однаковий переріз, то для відносної довжини мідного стержня можна записати:

\(\dfrac{L_{\text{мідного стрижня}}}{L_{\text{вугільного стрижня}}} = \dfrac{\Delta L_{\text{мідного стрижня}}}{\Delta L_{\text{вугільного стрижня}}}\)

Тобто, відносна довжина мідного стержня повинна бути рівна відношенню зміни довжини мідного стрижня до зміни довжини вугільного стрижня при зміні температури. Оскільки згідно з нашими розрахунками \(\Delta L_{\text{мідного стрижня}} = \Delta L_{\text{вугільного стрижня}}\), то відносна довжина мідного стержня повинна бути рівна 1.

Отже, щоб опір з"єднання не залежав від температури, відносна довжина мідного стержня повинна бути 1.