Выберите верное утверждение: 1) Разность несократимой дроби и единицы составляет несократимую дробь. 2) Сумма

Радужный_Лист

7

Чтобы выбрать верное утверждение, давайте рассмотрим каждое утверждение по очереди и проведем соответствующее обоснование.

1) Разность несократимой дроби и единицы составляет несократимую дробь.
Для начала, давайте рассмотрим, что такое сократимая и несократимая дроби. Сократимая дробь - это дробь, у которой числитель и знаменатель имеют общие делители, и их можно сократить. Несократимая дробь - это дробь, у которой числитель и знаменатель не имеют общих делителей, кроме единицы.

Теперь вернемся к утверждению. Предположим, что у нас есть несократимая дробь \(\frac{a}{b}\), где \(a\) и \(b\) - числители и знаменатели соответственно. Рассмотрим разность этой дроби и единицы:
\(\frac{a}{b} - 1 = \frac{a}{b} - \frac{b}{b} = \frac{a - b}{b}\).

Таким образом, разность несократимой дроби и единицы будет равна дроби \(\frac{a - b}{b}\). Чтобы убедиться, что эта дробь также будет несократимой, предположим, что она сократима. То есть, существует такое натуральное число \(k\), что \(\frac{a - b}{b} = \frac{c}{d}\), где \(c\) и \(d\) - числители и знаменатели соответственно, и \(c\) и \(d\) не имеют общих делителей, кроме единицы.

Тогда мы можем переписать это уравнение следующим образом:
\[\frac{a - b}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow a - b = \frac{bc}{d} \Rightarrow a = b + \frac{bc}{d}\].

Однако, заметим, что \(b\) и \(\frac{bc}{d}\) имеют общий делитель \(b\), потому что \(b = b \cdot 1\) и \(\frac{bc}{d} = b \cdot \frac{c}{d}\).

Таким образом, мы пришли к противоречию, потому что предположение о сократимости дроби \(\frac{a - b}{b}\) привело к тому, что \(a\) и \(b\) имеют общий делитель \(b\).

Следовательно, наше предположение неверно, и доказано, что разность несократимой дроби и единицы будет несократимой дробью.

Таким образом, первое утверждение, что разность несократимой дроби и единицы составляет несократимую дробь, является верным.

2) Сумма натурального числа и несократимой дроби может быть натуральным числом.
Поскольку натуральные числа являются целыми и положительными, а дроби представляют собой частное двух целых чисел, сумма натурального числа и несократимой дроби не может быть натуральным числом.

Таким образом, второе утверждение неверно.

3) Сумма натурального числа и несократимой дроби может быть натуральным числом.
Данное утверждение повторяет утверждение номер 2, поэтому оно также является неверным.

4) Две дроби с разными числителями и знаменателями могут быть равными.
Для того чтобы дроби были равными, их числители и знаменатели должны быть равными. Если дроби имеют разные числители и знаменатели, они не могут быть равными.

Таким образом, четвертое утверждение, что две дроби с разными числителями и знаменателями могут быть равными, является неверным.

Таким образом, только первое утверждение является верным. Ответ: 1.