Выберите верные утверждения из предложенных вариантов ответа. Возможно несколько правильных вариантов ответа: - Если

Тропик

66

Для начала рассмотрим каждое утверждение отдельно.

Утверждение 1: Если в четырёхугольнике две стороны равны и два угла равны, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Для опровержения или подтверждения этого утверждения, нам нужно разобраться в определении параллелограмма. Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны.

Давайте рассмотрим случай, когда в четырехугольнике две стороны равны и два угла равны. Пусть эти две стороны будут AB и BC, а равные углы - B и C. Таким образом, у нас будет ABCB.

Теперь давайте проведем диагональ AC. Если этот четырехугольник является параллелограммом, то следующее утверждение должно быть верным: диагонали параллелограмма делятся пополам. Другими словами, точка пересечения диагоналей M должна быть серединой каждой диагонали.

Но в нашем четырехугольнике ABCB это не так, потому что точка пересечения диагоналей M не является серединой диагонали AC. Следовательно, это утверждение неверно.

Утверждение 2: Если на продолжении медианы AM треугольника ABC, нарисовать отрезок MK, равный AM, то четырёхугольник АВКМ будет параллелограммом.

Для проверки этого утверждения, нам нужно снова обратиться к определению параллелограмма и свойствам медиан треугольника.

Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В данном случае, медианой является отрезок AM.

Допустим, мы продолжили медиану AM и нарисовали отрезок MK, равный AM. Теперь давайте рассмотрим треугольник ABM.

Согласно свойству медиан треугольника, точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1. То есть, если AM делится на две равные части точкой K, то MK будет равна половине AM.

Однако, в утверждении говорится, что MK равно AM. Такое может быть только в том случае, когда MK = AM/2.

Теперь, если это выполняется, у нас возникает противоречие, так как у нас треугольник ABM не является равносторонним. Если AM/2 равно AM, то это значит, что AM равняется нулю, что невозможно.

Следовательно, четырехугольник АВКМ не является параллелограммом. Это утверждение также неверно.

Утверждение 3: Середины сторон любого выпуклого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Это утверждение также неверно. Чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его противоположные стороны были параллельны. Но в этом утверждении не говорится о параллельности сторон.

Вот контрпример: рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором стороны AB и CD параллельны, а стороны AD и BC не параллельны.

Пусть точки M, N, P, Q будут серединами сторон AB, BC, CD и AD соответственно. Тогда отрезки MN, NP и PQ будут соединять середины противоположных сторон четырехугольника.

Так как стороны AD и BC не параллельны, отрезки MN и PQ не будут параллельны. Следовательно, вершины M, N, P, Q не образуют параллелограмма.

Утверждение 4: В выпуклом четырехугольнике с непараллельными противоположными сторонами середины диагоналей и середины двух противоположных сторон являются вершинами.

Это утверждение также неверно. Чтобы доказать это, давайте рассмотрим пример.

Пусть у нас есть выпуклый четырехугольник ABCD, в котором стороны AD и BC не параллельны. Пусть точки M и N будут серединами диагоналей AC и BD соответственно, а точки P и Q будут серединами сторон AB и CD соответственно.

Теперь давайте рассмотрим отрезки MP и NQ. Если это утверждение было бы истинным, то отрезки MP и NQ должны были быть параллельны.

Однако, в нашем примере, стороны AD и BC не параллельны, что значит, что прямые MP и NQ не параллельны. Значит, точки M, N, P, Q не образуют параллелограмма.

Таким образом, ни одно из предложенных утверждений не является верным.