Каков радиус сферы, если известны координаты точек D(2; 0; 2) и В(0; 2; 0), где DB - диаметр сферы? Напишите уравнение

Muravey

65

Чтобы найти радиус сферы, используя известные координаты точек D(2; 0; 2) и В(0; 2; 0), а также факт, что DB - диаметр сферы, давайте разберемся с пошаговым решением:

1. Найдем координаты центра сферы:
Центр сферы будет являться серединой отрезка DB, а так как координаты D и B уже известны, мы можем найти середину, используя формулу:
\(x_{\text{сер}} = \frac{x_D + x_B}{2}\)
\(y_{\text{сер}} = \frac{y_D + y_B}{2}\)
\(z_{\text{сер}} = \frac{z_D + z_B}{2}\)

Подставим значения координат D(2; 0; 2) и B(0; 2; 0) в формулы:
\(x_{\text{сер}} = \frac{2 + 0}{2} = 1\)
\(y_{\text{сер}} = \frac{0 + 2}{2} = 1\)
\(z_{\text{сер}} = \frac{2 + 0}{2} = 1\)
Итак, координаты центра сферы равны C(1; 1; 1).

2. Теперь проанализируем, как получить радиус сферы.
Мы знаем, что DB - это диаметр сферы. Диаметр равен удвоенному радиусу. Значит, чтобы найти радиус сферы, мы можем разделить длину DB на 2.
Длина DB можно найти с помощью формулы расстояния между двумя точками:
\(d_{DB} = \sqrt{(x_B - x_D)^2 + (y_B - y_D)^2 + (z_B - z_D)^2}\)

Подставим значения координат D(2; 0; 2) и B(0; 2; 0) в формулу:
\(d_{DB} = \sqrt{(0 - 2)^2 + (2 - 0)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)

Так как радиус сферы равен половине диаметра, мы можем выразить радиус сферы следующим образом:
\(R = \frac{d_{DB}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\)

Итак, радиус сферы равен \(\sqrt{3}\).

3. Чтобы написать уравнение данной сферы, используем формулу сферы, где \((x - x_с)^2 + (y - y_с)^2 + (z - z_с)^2 = R^2\):
\((x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = (\sqrt{3})^2\)
\((x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = 3\)

Здесь \(x, y\) и \(z\) являются переменными координатами любой точки на сфере, а \(x_с, y_с\) и \(z_с\) - координаты центра сферы C(1; 1; 1).

Итак, уравнение данной сферы будет \((x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = 3\).