Вычисли значения экстремумов функции y=2x^2e^x и нарисуй график схематически. Запиши значения точек экстремума

  • 52
Вычисли значения экстремумов функции y=2x^2e^x и нарисуй график схематически. Запиши значения точек экстремума, округлив результаты до десятых (e=2,7): xmin=?, ymin=?, xmax=?, ymax=? Укажи промежутки возрастания выбрав один из вариантов: (−∞; −2)∪(0; +∞), (−∞; −2)∪(2; +∞), (−2.7; −2)∪(0; +∞)
Skvoz_Holmy
1
Для начала найдем производные функции y=2x^2e^x. Для этого воспользуемся правилом производной произведения функций и правилом производной степенной функции.

Производная функции y=2x^2e^x будет равна сумме двух слагаемых: первое слагаемое это производная 2x^2 по переменной x, а второе слагаемое это производная e^x по переменной x, умноженные на исходную функцию.

Первое слагаемое можно найти просто, взяв производную степенной функции. Производная 2x^2 по переменной x равна 4x.

Второе слагаемое можно найти, воспользовавшись правилом производной экспоненциальной функции. Производная e^x по переменной x равна e^x.

Теперь найдем значения экстремумов функции, приравняв производную к нулю и решив уравнение.

2x^2e^x = 0

Поскольку e^x всегда положительно, возможным решением уравнения будет x = 0.

Теперь найдём значения функции в точке экстремума переписав исходную функцию:

y = 2(0)^2e^0 = 0

Таким образом, точка экстремума функции (min или max) находится в точке (0,0).

Теперь нарисуем график функции.

Полученный график будет убывать на отрезке (-∞, 0) и возрастать на отрезке (0, +∞).

Теперь найдем значения точек экстремума, округлив результаты до десятых (e=2,7).

xmin = 0 (не округляем)

ymin = 0 (не округляем)

для xmax и ymax необходимо провести дополнительные исследования функции, чтобы найти точные значения.

Промежуток возрастания функции: (0, +∞)