Вычислить значение функции w(z) при заданном значении z=3+5i, где [tex]w(z)=z^{2} +(z-i^{3} )(z+2)- frac{z+2i}{z-5i^{4

Shumnyy_Popugay

40

Хорошо, начнем с вычисления значения функции w(z) для данного значения z. Для этого мы подставим z=3+5i в выражение для w(z). Приступим:

\[z=3+5i\]

Первым шагом в выражении w(z) является возведение z в квадрат. Для этого умножим z на самого себя:

\[z^2 = (3+5i)^2\]

Чтобы выполнить это умножение, нам необходимо возвести каждый компонент (3 и 5i) в квадрат, а затем обработать смешанные члены.

Давайте начнем с возведения 3 в квадрат:

\[3^2 = 9\]

Теперь возведем 5i в квадрат:

\[(5i)^2 = 25i^2\]

Помним, что \(i^2\) определено как -1, поэтому:

\[(5i)^2 = 25(-1) = -25\]

Теперь у нас есть результаты возведения в квадрат для обоих компонентов:

\[3^2 = 9\]

\[(5i)^2 = -25\]

Теперь обработаем смешанные члены. У нас есть \(3 \cdot 5i\), поэтому:

\[2 \cdot 3 \cdot 5i = 30i\]

Собрав все воедино, получаем:

\[z^2 = 9 + (-25) + 30i = -16 + 30i\]

Теперь рассмотрим второй член в выражении w(z), который содержит \(z-i^3\). У нас уже есть значение \(z^2\) из предыдущего шага:

\[z^2 = -16 + 30i\]

Подставим его в выражение:

\[z-i^3 = -16 + 30i - (-1)^3\]

Здесь \(i^3\) равно -i, поэтому:

\[-16 + 30i - (-1)^3 = -16 + 30i + i = -16 + 31i\]

Теперь приступим к третьему члену в выражении w(z), который содержит \(\frac{z+2i}{z-5i^4}\). Мы уже знаем значение \(z^2\) и \(z-i^3\) из предыдущих шагов:

\[z^2 = -16 + 30i\]

\[z-i^3 = -16 + 31i\]

Подставим эти значения:

\[\frac{z+2i}{z-5i^4} = \frac{-16 + 31i + 2i}{-16 + 31i - 5(-1)^4}\]

Здесь \(i^4\) равно 1:

\[\frac{-16 + 31i + 2i}{-16 + 31i - 5(1)} = \frac{-16 + 33i}{-16 + 31i - 5}\]

Продолжим упрощать:

\[\frac{-16 + 33i}{-16 + 31i - 5} = \frac{-16 + 33i}{-21 + 31i}\]

Теперь нам нужно умножить числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное значение знаменателя, чтобы избавиться от комплексных чисел в знаменателе. Комплексно-сопряженное значение - это число с противоположным знаком мнимой части. Выполним это действие:

\[\frac{(-16 + 33i)(-21 - 31i)}{(-21 + 31i)(-21 - 31i)}\]

Умножим числители и знаменатели:

\[\frac{(-16)(-21) + (-16)(-31i) + (33i)(-21) + (33i)(-31i)}{(-21)(-21) + (-21)(-31i) + (31i)(-21) + (31i)(-31i)}\]

Упростим каждое слагаемое:

\[336 + 496i - 693i - 1023i^2\]
\[-441 - 197i - 651i - 961i^2\]

С учетом того, что \(i^2\) равно -1:

\[336 + 496i - 693i + 1023 -441 + 197i - 651i + 961\]

Соберем действительные числа и мнимые числа вместе:

\[336 + 1023 -441 + 961 + 496i - 693i + 197i - 651i\]

Теперь объединяя однотипные слагаемые:

\[387 + 1000i - 147i - 454i\]

\[387 - 647i\]

Таким образом, мы получаем:

\[\frac{z+2i}{z-5i^4} = -16 + 33i\]

Вернемся к исходному выражению для w(z):

\[w(z) = z^{2} +(z-i^{3} )(z+2)-\frac{z+2i}{z-5i^{4}}\]

Подставим вычисленные значения:

\[w(z) = (-16 + 30i) + (-16 + 31i)(-16 + 33i) - (-16 + 33i)\]

Теперь упростим это выражение:

\[w(z) = -16 + 30i - 16(-16) + 16(-33i) + 31i(-16) + 31i(33i) + 16 - 33i\]

Упростим каждое слагаемое:

\[w(z) = -16 + 30i + 256 - 528i - 496i + 1023 - 33 + 1000i - 33i\]

Объединяем однотипные слагаемые:

\[w(z) = 223 + 471i\]

Итак, значение функции w(z) при заданном значении z=3+5i равно 223 + 471i.