Вычислите косинус угла между векторами AB и AC, если известно, что длина вектора AB равна 4 корня из 2, длина вектора

Ярослав

26

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться формулой для косинуса угла между двумя векторами:

\[
\cos(\theta) = \frac{{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}}{{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|}}
\]

где \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) - векторы, а \(\theta\) - угол между ними.

Сначала найдем произведение длин векторов AB и AC. По условию задачи, это произведение равно 12.

\[
|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| = 12
\]

Дальше, нам дано, что длина вектора AB равна \(4\sqrt{2}\), а длина вектора AC равна 3. Теперь, мы можем записать следующие уравнения:

\[
|\vec{AB}| = 4\sqrt{2}
\]
\[
|\vec{AC}| = 3
\]

Подставим полученные значения в формулу для косинуса угла:

\[
\cos(\theta) = \frac{{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}}{{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|}} = \frac{{12}}{{4\sqrt{2} \cdot 3}}
\]

Дальше, чтобы избавиться от иррациональных чисел в знаменателе, мы можем умножить их оба на \(\sqrt{2}\):

\[
\cos(\theta) = \frac{{12}}{{4\sqrt{2} \cdot 3}} \cdot \frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{2}}} = \frac{{12\sqrt{2}}}{{12 \cdot 3 \cdot \sqrt{2}}} = \frac{{\cancel{12}\cancel{\sqrt{2}}}}{{\cancel{12} \cdot 3 \cdot \cancel{\sqrt{2}}}} = \frac{1}{3}
\]

Таким образом, значение косинуса угла между векторами AB и AC равно \(\frac{1}{3}\).