Вычислите период обращения небесного тела солнечной системы с такой вытянутой орбитой, что его максимальное расстояние

Lunnyy_Homyak

60

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать третий закон Кеплера, который устанавливает связь между периодом обращения планеты вокруг Солнца, радиусом ее орбиты и радиусом орбиты другой планеты.

В данной задаче мы знаем периоды обращения Марса и Урана вокруг Солнца, а также радиус орбиты Марса. Условие говорит о том, что максимальное расстояние этого небесного тела от Солнца равно радиусу орбиты Урана, а минимальное расстояние соответствует радиусу орбиты Марса.

По определению, период обращения небесного тела вокруг Солнца равен времени, за которое оно совершит одну полную орбиту. Таким образом, чтобы вычислить период обращения этого тела, мы должны найти радиус его орбиты.

Если орбиты планет являются круговыми, то мы можем воспользоваться формулой радиуса орбиты в зависимости от периода обращения:

\[ T = \frac{2\pi}{\sqrt{G\cdot M}} \cdot R^{3/2} \]

где T - период обращения, G - гравитационная постоянная, M - масса Солнца, R - радиус орбиты.

Разделим эту формулу на другую аналогичную формулу для другого небесного тела:

\[ T_2 = \frac{2\pi}{\sqrt{G\cdot M}} \cdot R_2^{3/2} \]

Для планеты с объемлющей орбитой:

\[ T_2 = k \cdot R_2^{3/2} \]

где k - некоторая константа.

Таким образом, отношение периодов обращения этих планет может быть выражено следующим образом:

\[ \frac{T}{T_2} = \frac{R^{3/2}}{R_2^{3/2}} \]

Теперь мы можем использовать полученное отношение для решения задачи. Подставим известные значения:

\[ \frac{T}{1.88} = \frac{R^{3/2}}{1} \]
\[ \frac{T}{84} = \frac{R^{3/2}}{1.88} \]

Теперь мы можем найти R, поменяв местами эти уравнения:

\[ \frac{T}{1.88} \cdot \frac{1.88}{84} = \frac{R^{3/2}}{1} \cdot \frac{1}{1} \]
\[ R^{3/2} = \frac{T \cdot 1.88}{84} \]
\[ R = \left(\frac{T \cdot 1.88}{84}\right)^{2/3} \]

Подставляя значения периодов обращения Марса и Урана, получим:

Для периода обращения Марса:
\[ R = \left(\frac{1.88 \cdot 1.88}{84}\right)^{2/3} \]

Для периода обращения Урана:
\[ R = \left(\frac{84 \cdot 1.88}{84}\right)^{2/3} \]

Итак, подставив значения в формулы, мы получим значения радиусов oрбит Марса и Урана в единицах, соответствующих периоду обращения. Подставляем значения:

Для Марса:
\[ R = \left(\frac{1.88 \cdot 1.88}{84}\right)^{2/3} \approx 0.704 \]

Для Урана:
\[ R = \left(\frac{84 \cdot 1.88}{84}\right)^{2/3} \approx 5.979 \]

Теперь, имея значения радиусов, мы можем найти период обращения небесного тела с такой вытянутой орбитой, используя формулу:

\[ T = \frac{2\pi}{\sqrt{G\cdot M}} \cdot R^{3/2} \]

где T - период обращения, G - гравитационная постоянная, M - масса Солнца.

Подставляем значения:

\[ T = \frac{2\pi}{\sqrt{G\cdot M}} \cdot 0.704^{3/2} \]

Ответ: период обращения небесного тела с такой вытянутой орбитой, о которой было сказано в задаче, составляет примерно \(T \approx 4.69\) года, если принять значения радиусов орбит Марса и Урана в соответствии с условием.