Вычислите значение x вектора b→, если a→b→ равно 8 и даны векторы a→=(-8;8;-4) и b→=(1;x;-2

Тимур_4906

70

Для решения данной задачи, нам необходимо найти значение компоненты x вектора b→. Мы знаем, что произведение скаляра на вектор равно вектору, который ссылаются насчет скаляра согласно формуле:

\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \cos \theta\)

где \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) - это векторы, \(|\mathbf{a}|\) и \(|\mathbf{b}|\) - их длины, а \(\theta\) - угол между ними.

В нашем случае \(\mathbf{a}\) = (-8, 8, -4) и \(\mathbf{b}\) = (1, x, -2).

Найдем длины векторов a→ и b→:

\( |\mathbf{a}| = \sqrt{(-8)^2 + 8^2 + (-4)^2} \) = \(\sqrt{64 + 64 + 16}\) = \(\sqrt{144}\) = 12

\( |\mathbf{b}| = \sqrt{1^2 + x^2 + (-2)^2} \) = \(\sqrt{1 + x^2 + 4}\) = \(\sqrt{x^2 + 5}\)

Так как известно, что \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 8\), мы можем записать уравнение:

\( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \cos \theta \)

В нашем случае это будет:

8 = 12 \(\sqrt{x^2 + 5}\) \(\cos \theta\).

Учитывая, что \(\cos \theta\) должен быть равен 1 или -1, чтобы длина вектора a→b→ была равна 8, мы можем записать два уравнения:

8 = 12 \(\sqrt{x^2 + 5}\) или 8 = -12 \(\sqrt{x^2 + 5}\).

Найдем решение первого уравнения:

12 \(\sqrt{x^2 + 5}\) = 8.

\(\sqrt{x^2 + 5}\) = \(\frac{8}{12}\).

\(\sqrt{x^2 + 5}\) = \(\frac{2}{3}\).

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\(x^2 + 5\) = \(\left(\frac{2}{3}\right)^2\).

\(x^2 + 5\) = \(\frac{4}{9}\).

\(x^2\) = \(\frac{4}{9} - 5\).

\(x^2\) = \(\frac{4}{9} - \frac{45}{9}\).

\(x^2\) = \(-\frac{41}{9}\).

Так как квадратный корень из отрицательного числа не определен вещественных числах, исходное уравнение не имеет решений.

Теперь рассмотрим второе уравнение:

-12 \(\sqrt{x^2 + 5}\) = 8.

\(\sqrt{x^2 + 5}\) = \(\frac{-8}{12}\).

\(\sqrt{x^2 + 5}\) = \(\frac{-2}{3}\).

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\(x^2 + 5\) = \(\left(\frac{-2}{3}\right)^2\).

\(x^2 + 5\) = \(\frac{4}{9}\).

\(x^2\) = \(\frac{4}{9} - 5\).

\(x^2\) = \(\frac{4}{9} - \frac{45}{9}\).

\(x^2\) = \(\frac{-41}{9}\).

Так как квадратный корень из отрицательного числа не определен вещественных числах, исходное уравнение не имеет решений.

Таким образом, уравнение \(a→b→ = 8\) не имеет решений для заданных векторов a→ = (-8, 8, -4) и b→ = (1, x, -2).