What are the values of the currents i1, i2, i3, and i4? What is the value

Solnyshko

13

Для решения этой задачи нам понадобится использовать законы Кирхгофа, а именно закон Кирхгофа для узлов и закон Кирхгофа для петель.

Начнем с применения закона Кирхгофа для узлов:
В узле A сумма всех входящих и исходящих токов должна быть равной нулю: \(i_1 + i_3 = i_2\).

Теперь применим закон Кирхгофа для петель:
В петле ADEFA сумма всех напряжений должна быть равна нулю:
\[15 - 6i_1 + 5i_2 = 0\].

В петле BCDEB сумма всех напряжений также должна быть равна нулю:
\[4i_1 - 8i_3 + 6i_4 = 0\].

Таким образом, у нас есть система из трех уравнений с тремя неизвестными \(i_1, i_2\) и \(i_3\). Разрешим эту систему уравнений, чтобы найти значения токов.

Начнем с уравнения \(i_1 + i_3 = i_2\). Мы можем выразить \(i_1\) через \(i_2\) и \(i_3\), чтобы получить:
\[i_1 = i_2 - i_3\].

Теперь подставим это значение \(i_1\) во второе уравнение \(15 - 6i_1 + 5i_2 = 0\), чтобы получить:
\[15 - 6(i_2 - i_3) + 5i_2 = 0\].

Раскроем скобки:
\[15 - 6i_2 + 6i_3 + 5i_2 = 0\].

Сгруппируем по \(i_2\) и \(i_3\):
\[-i_2 + 6i_3 + 15 = 0\].

Это уравнение 2 - это оно:
\[-i_2 + 6i_3 = -15\],
\[i_2 = 6i_3 + 15\].

Теперь подставим это значение \(i_2\) в третье уравнение \(4i_1 - 8i_3 + 6i_4 = 0\), чтобы получить:
\[4(i_2 - i_3) - 8i_3 + 6i_4 = 0\].

Раскроем скобки:
\[4i_2 - 4i_3 - 8i_3 + 6i_4 = 0\].

Сгруппируем по \(i_2, i_3\) и \(i_4\):
\[4i_2 - 12i_3 + 6i_4 = 0\].

Подставим значение \(i_2\) из второго уравнения:
\[4(6i_3 + 15) - 12i_3 + 6i_4 = 0\].

Раскроем скобки:
\[24i_3 + 60 - 12i_3 + 6i_4 = 0\].

Сгруппируем по \(i_3\) и \(i_4\):
\[12i_3 + 6i_4 = -60\].

Это уравнение 3 - это оно:
\[12i_3 + 6i_4 = -60\].

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными \(i_3\) и \(i_4\). Решим ее, чтобы получить значения токов.

Начнем с уравнения 2:
\[i_2 = 6i_3 + 15\].

Теперь подставим это значение \(i_2\) в уравнение 3:
\[12i_3 + 6i_4 = -60\].

Поделим оба члена на 6:
\[2i_3 + i_4 = -10\].

Это уравнение 4 - это оно:
\[2i_3 + i_4 = -10\].

Теперь у нас есть система с двумя уравнениями и двумя неизвестными \(i_3\) и \(i_4\). Решим ее, чтобы получить значения токов.

Умножим уравнение 2 на 2:
\[2i_2 = 12i_3 + 30\].

Теперь вычтем это уравнение из уравнения 4:
\[2i_3 + i_4 - (12i_3 + 30) = -10\].

Раскроем скобки:
\[2i_3 + i_4 - 12i_3 - 30 = -10\].

Сгруппируем по \(i_3\) и \(i_4\):
\[-10i_3 + i_4 = 20\].

Это уравнение 5 - это оно:
\[-10i_3 + i_4 = 20\].

Теперь у нас есть система из двух уравнений и двух неизвестных \(i_3\) и \(i_4\). Решим ее, чтобы получить значения токов.

Выразим \(i_4\) через \(i_3\) из уравнения 5:
\[i_4 = 20 + 10i_3\].

Теперь подставим это значение \(i_4\) в уравнение 2:
\[i_2 = 6i_3 + 15\].

Таким образом, у нас есть значения \(i_3\) и \(i_4\), а значит, мы можем найти \(i_2\) и \(i_1\) с помощью уравнения \(i_1 = i_2 - i_3\) и уравнения \(i_2 = 6i_3 + 15\).

Теперь решим систему уравнений:
\[i_4 = 20 + 10i_3\],
\[i_2 = 6i_3 + 15\],
\[i_1 = i_2 - i_3\].

Подставим значение \(i_4\) в уравнение \(i_2 = 6i_3 + 15\):
\[i_2 = 6i_3 + 15\],
\[i_2 = 6i_3 + 15 + 10i_3\],
\[i_2 = 16i_3 + 15\].

Теперь подставим значения \(i_2\) и \(i_4\) в \(i_1 = i_2 - i_3\):
\[i_1 = i_2 - i_3\],
\[i_1 = 16i_3 + 15 - i_3\],
\[i_1 = 15i_3 + 15\],
\[i_1 = 15(i_3 + 1)\].

Таким образом, мы получили значения токов \(i_1\), \(i_2\), \(i_3\) и \(i_4\):
\(i_1 = 15(i_3 + 1)\),
\(i_2 = 16i_3 + 15\),
\(i_3\) - любое значение,
\(i_4 = 20 + 10i_3\).