What are the values of the remaining trigonometric functions if ctan = 16/63; πsinθ = cosθ?

Zagadochnyy_Paren

61

Дано: \(\cot \theta = \frac{16}{63}\), \(\pi \sin \theta = \cos \theta\)

Давайте рассмотрим отношения основных тригонометрических функций:

1. Тангенс: \(\tan \theta = \frac{{\sin \theta}}{{\cos \theta}}\)
2. Котангенс: \(\cot \theta = \frac{{\cos \theta}}{{\sin \theta}}\)

Исходя из данных, мы можем представить \(\cot \theta\) в виде отношения \(\frac{{\cos \theta}}{{\sin \theta}}\) и найти значение \(\tan \theta\):

\[\cot \theta = \frac{{\cos \theta}}{{\sin \theta}} = \frac{{1/\tan \theta}}{{\sin \theta}} = \frac{1}{{\tan \theta \cdot \sin \theta}} = \frac{1}{{\sin \theta/\cos \theta \cdot \sin \theta}} = \frac{1}{{\sin^2 \theta/\cos \theta}} = \frac{{\cos \theta}}{{\sin^2 \theta}}\]

Сравнивая полученное выражение \(\frac{{\cos \theta}}{{\sin^2 \theta}}\) с данным \(\frac{16}{63}\), мы можем построить следующее уравнение:

\[\frac{{\cos \theta}}{{\sin^2 \theta}} = \frac{16}{63}\]

Решим это уравнение:

\[\cos \theta = \frac{{16}}{{63}} \cdot \sin^2 \theta\]

Также, учитывая соотношение \(\pi \sin \theta = \cos \theta\), мы можем подставить \(\cos \theta\) в уравнение и решить его:

\[\pi \sin \theta = \frac{{16}}{{63}} \cdot \sin^2 \theta\]
\[\Rightarrow \pi \sin \theta - \frac{{16}}{{63}} \cdot \sin^2 \theta = 0\]

Факторизуем это уравнение:

\[\sin \theta \left(\pi - \frac{{16}}{{63}} \cdot \sin \theta\right) = 0\]

Из этого уравнения мы получаем два возможных значения \(\sin \theta\):

1. \(\sin \theta = 0\)
2. \(\pi - \frac{{16}}{{63}} \cdot \sin \theta = 0\)

1. Если \(\sin \theta = 0\), то \(\theta\) может быть равным 0 или любому углу, для которого синус равен 0 (как, например, \(180^{\circ}\)).
2. Если \(\pi - \frac{{16}}{{63}} \cdot \sin \theta = 0\), то \(\sin \theta = \frac{{63}}{{16}}\).

Теперь, когда у нас есть значение \(\sin \theta\), мы можем найти значение \(\cos \theta\) с использованием уравнения \(\pi \sin \theta = \cos \theta\):

\[\cos \theta = \pi \sin \theta = \pi \cdot \frac{{63}}{{16}} = \frac{{63 \pi}}{{16}}\]

Итак, значения оставшихся тригонометрических функций для данной задачи:

\(\theta = 0\) или \(\theta = 180^{\circ}\)
\(\sin \theta = 0\)
\(\cos \theta = \frac{{63 \pi}}{{16}}\)
\(\tan \theta = \frac{{\sin \theta}}{{\cos \theta}} = \frac{{0}}{{\frac{{63 \pi}}{{16}}}} = 0\)
\(\cot \theta = \frac{{\cos \theta}}{{\sin \theta}} = \frac{{\frac{{63 \pi}}{{16}}}}{{0}}\) (Здесь нам нужно отметить, что деление на 0 невозможно, поэтому значение \(\cot \theta\) не определено.)

Надеюсь, что это подробное объяснение помогло вам понять, как найти значения оставшихся тригонометрических функций в данной задаче.