What are the values of the remaining trigonometric functions if ctan = 16/63; πsinθ = cosθ?

Zagadochnyy_Paren

61

Дано: $\cot \theta =\frac{16}{63}$, $\pi \sin \theta =\cos \theta$

Давайте рассмотрим отношения основных тригонометрических функций:

1. Тангенс: $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$
2. Котангенс: $\cot \theta =\frac{\cos \theta }{\sin \theta }$

Исходя из данных, мы можем представить $\cot \theta$ в виде отношения $\frac{\cos \theta }{\sin \theta }$ и найти значение $\tan \theta$:

$$\cot \theta =\frac{\cos \theta }{\sin \theta }=\frac{1/\tan \theta }{\sin \theta }=\frac{1}{\tan \theta \cdot \sin \theta }=\frac{1}{\sin \theta /\cos \theta \cdot \sin \theta }=\frac{1}{{\sin }^2\theta /\cos \theta }=\frac{\cos \theta }{{\sin }^2\theta }$$

Сравнивая полученное выражение $\frac{\cos \theta }{{\sin }^2\theta }$ с данным $\frac{16}{63}$, мы можем построить следующее уравнение:

$$\frac{\cos \theta }{{\sin }^2\theta }=\frac{16}{63}$$

Решим это уравнение:

$$\cos \theta =\frac{16}{63}\cdot {\sin }^2\theta$$

Также, учитывая соотношение $\pi \sin \theta =\cos \theta$, мы можем подставить $\cos \theta$ в уравнение и решить его:

$$\pi \sin \theta =\frac{16}{63}\cdot {\sin }^2\theta$$
$$\Rightarrow \pi \sin \theta -\frac{16}{63}\cdot {\sin }^2\theta =0$$

Факторизуем это уравнение:

$$\sin \theta (\pi -\frac{16}{63}\cdot \sin \theta )=0$$

Из этого уравнения мы получаем два возможных значения $\sin \theta$:

1. $\sin \theta =0$
2. $\pi -\frac{16}{63}\cdot \sin \theta =0$

1. Если $\sin \theta =0$, то $\theta$ может быть равным 0 или любому углу, для которого синус равен 0 (как, например, ${180}^{\circ }$).
2. Если $\pi -\frac{16}{63}\cdot \sin \theta =0$, то $\sin \theta =\frac{63}{16}$.

Теперь, когда у нас есть значение $\sin \theta$, мы можем найти значение $\cos \theta$ с использованием уравнения $\pi \sin \theta =\cos \theta$:

$$\cos \theta =\pi \sin \theta =\pi \cdot \frac{63}{16}=\frac{63\pi }{16}$$

Итак, значения оставшихся тригонометрических функций для данной задачи:

$\theta =0$ или $\theta ={180}^{\circ }$
$\sin \theta =0$
$\cos \theta =\frac{63\pi }{16}$
$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{0}{\frac{63\pi }{16}}=0$
$\cot \theta =\frac{\cos \theta }{\sin \theta }=\frac{\frac{63\pi }{16}}{0}$ (Здесь нам нужно отметить, что деление на 0 невозможно, поэтому значение $\cot \theta$ не определено.)

Надеюсь, что это подробное объяснение помогло вам понять, как найти значения оставшихся тригонометрических функций в данной задаче.