Яким є об єм правильної чотирикутної піраміди з бічним ребром довжиною 4 см і кутом між бічним ребром і площиною основи

Raduzhnyy_Uragan_8307

66

Щоб знайти об"єм правильної чотирикутної піраміди, нам знадобиться формула для об"єму піраміди. Формула така:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h \]

де \( V \) - об"єм піраміди, \( S_{\text{осн}} \) - площа основи піраміди, \( h \) - висота піраміди.

Спочатку ми повинні знайти площу основи піраміди. У нашому випадку, основа є чотирикутником, і нам необхідно знати його площу. Оскільки чотирикутник правильний, у нас є два способи знайти його площу:

1. Знаходження площі, використовуючи довжину бічного ребра:

Оскільки у нас чотирикутник, всі сторони мають однакову довжину. У нашому випадку, довжина бічного ребра дорівнює 4 см. Тому, площа основи піраміди може бути знайдена за формулою:

\[ S_{\text{осн}} = a^2 \]

де \( a \) - довжина бічного ребра.

Вставляючи значення, отримуємо:

\[ S_{\text{осн}} = 4^2 = 16 \, \text{см}^2 \]

2. Знаходження площі, використовуючи довжини сторін:

Оскільки у нас чотирикутник, у нас також є можливість знайти площу основи, використовуючи довжини сторін. Зауважте, що в правильному чотирикутнику з кутом 60 градусів, всі кути чотирикутника мають однакову величину - 90 градусів, а довжини сторін можуть бути знайдені за допомогою тригонометричних співвідношень. За формулами тригонометрії, довжини сторін можуть бути знайдені як:

\[ a = \frac{b}{\sin(60^\circ)} \]

де \( a \) - довжина бічного ребра, \( b \) - довжина сторони чотирикутника.

Вставляючи значення \( b = 4 \) см, отримуємо:

\[ a = \frac{4}{\sin(60^\circ)} \approx 4.62 \, \text{см} \]

Зараз, коли у нас є площа основи піраміди, ми повинні знайти висоту піраміди. Для цього нам потрібно знати кут між бічним ребром і площиною основи. В нашому випадку, кут між бічним ребром і площиною основи дорівнює 60 градусів. Оскільки у нас правильна піраміда, ми можемо скористатися тригонометрією, щоб знайти висоту піраміди:

\[ \sin(\theta) = \frac{h}{a} \]

де \( \theta \) - кут між бічним ребром і площиною основи, \( h \) - висота піраміди, \( a \) - довжина бічного ребра.

Вставляючи відповідні значення, отримуємо:

\[ \sin(60^\circ) = \frac{h}{4.62} \]

Знаходження \( h \), ми отримуємо:

\[ h \approx 4.00 \, \text{см} \]

Тепер, коли у нас є площа основи піраміди (\( S_{\text{осн}} = 16 \, \text{см}^2 \)) і висота піраміди (\( h \approx 4.00 \, \text{см} \)), ми можемо знайти об"єм піраміди за формулою:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 4 \approx 21.33 \, \text{см}^3 \]

Отже, об"єм правильної чотирикутної піраміди з бічним ребром довжиною 4 см і кутом між бічним ребром і площиною основи 60 градусів близько дорівнює 21.33 см³.