What is the cosine of the smallest angle of the triangle with sides measuring 4 cm, 5 cm, and 7 cm? Determine

Ярослав

7

Хорошо! Давайте решим эту задачу шаг за шагом, чтобы все стало ясно. Первым шагом нужно найти наименьший угол в треугольнике, используя длины его сторон. Затем мы найдем косинус этого угла с помощью калькулятора.

Для начала, определим, какой угол является наименьшим в треугольнике. Для этого нам понадобится некоторое свойство треугольника: сумма любых двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны. Если мы посмотрим на стороны нашего треугольника, то увидим, что 4 см + 5 см = 9 см, что больше, чем третья сторона в 7 см. Поэтому наименьший угол будет расположен против стороны, которая равна 7 см.

Теперь, чтобы найти значение косинуса этого угла, нам понадобится воспользоваться косинус-правилом для треугольников. Это правило утверждает, что квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

В нашем случае это будет выглядеть так:

\[7^2 = 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos(\text{угол})\]

Теперь нам нужно найти значение угла. Для этого поделим обе стороны уравнения на \(2 \cdot 4 \cdot 5\):

\[\frac{7^2 - 4^2 - 5^2}{2 \cdot 4 \cdot 5} = \cos(\text{угол})\]

Рассчитаем это значение:

\[\frac{49 - 16 - 25}{2 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{8}{40} = \frac{1}{5}\]

Теперь нам нужно найти значение угла, используя косинус нашего результата. Для этого мы воспользуемся обратной функцией косинуса, называемой арккосинус (или \(\cos^{-1}\)).

Найдем арккосинус от \(\frac{1}{5}\) на калькуляторе:

\(\cos^{-1}\left(\frac{1}{5}\right) \approx 78.46^\circ\)

Таким образом, наименьший угол в треугольнике составляет приблизительно \(78.46^\circ\).

В итоге, косинус наименьшего угла треугольника со сторонами 4 см, 5 см и 7 см равен \(\frac{1}{5}\), а значение наименьшего угла составляет приблизительно \(78.46^\circ\).