What is the distribution law of the number of returned loans out of 4 issued, if the probability of the bank s clients

Янгол_8245

70

Для начала, давайте разберемся, что такое распределение и вероятность. Распределение представляет собой способ представления и описания возможных значений случайной величины и их вероятностей. Вероятность в этом случае определяет, насколько вероятно появление каждого из возможных значений случайной величины.

В данной задаче, случайная величина x будет представлять собой количество неоплаченных кредитов из 4 выданных. Мы знаем, что вероятность того, что клиент не выплатит кредит, равна 0.1.

Чтобы определить распределение и функцию f(x) для случайной величины x, нам нужно рассмотреть все возможные значения x и вычислить вероятность каждого из них.

Итак, предположим, что x = 0, это значит, что ни один из 4 выданных кредитов не был возвращен. Вероятность такого случая составляет (0.1)^0 * (1-0.1)^4, что равно 0.6561.

Теперь рассмотрим случай, когда x = 1, это значит, что только один из 4 кредитов не был возвращен. Вероятность этого случая равна комбинации из 4 кредитов, где один не возвращен и три возвращены. Такая комбинация может быть выбрана 4 способами. Вероятность отдельного случая равна (0.1)^1 * (1-0.1)^3, что равно 0.2916. Умножая эту вероятность на количество способов выбора такой комбинации, получаем 0.2916 * 4 = 1.1664.

Точно так же, мы рассматриваем случаи x = 2, x = 3 и x = 4 и вычисляем вероятности каждого из них. Давайте сформулируем функцию f(x), которая будет представлять собой распределение вероятностей для случайной величины x:

f(x) = (0.1)^x * (1-0.1)^(4-x) * C(4,x)

Здесь C(4,x) - это количество возможных комбинаций, выбирающих x кредитов из 4, и может быть вычислено при помощи формулы сочетаний:

C(4,x) = 4! / (x! * (4-x)!)

Теперь, чтобы вычислить математическое ожидание E(x) и дисперсию Var(x), нам потребуется использовать следующие формулы:

E(x) = Σ(x * f(x))
Var(x) = Σ((x - E(x))^2 * f(x))

Где Σ обозначает сумму всех возможных значений x.

Давайте выполним вычисления для E(x):

E(x) = 0 * f(0) + 1 * f(1) + 2 * f(2) + 3 * f(3) + 4 * f(4)

E(x) = 0 * ((0.1)^0 * (1-0.1)^4 * C(4,0)) + 1 * ((0.1)^1 * (1-0.1)^3 * C(4,1)) + 2 * ((0.1)^2 * (1-0.1)^2 * C(4,2)) + 3 * ((0.1)^3 * (1-0.1)^1 * C(4,3)) + 4 * ((0.1)^4 * (1-0.1)^0 * C(4,4))

E(x) = 0 + 1 * 0.2916 * 4 + 2 * 0.01 * 6 + 3 * 0.001 * 4 + 4 * 0.0001 * 1

E(x) = 1.1664 + 0.12 + 0.012 + 0.0004

E(x) = 1.2984

Теперь вычислим дисперсию Var(x):

Var(x) = (0 - E(x))^2 * f(0) + (1 - E(x))^2 * f(1) + (2 - E(x))^2 * f(2) + (3 - E(x))^2 * f(3) + (4 - E(x))^2 * f(4)

Var(x) = (0 - 1.2984)^2 * ((0.1)^0 * (1-0.1)^4 * C(4,0)) + (1 - 1.2984)^2 * ((0.1)^1 * (1-0.1)^3 * C(4,1)) + (2 - 1.2984)^2 * ((0.1)^2 * (1-0.1)^2 * C(4,2)) + (3 - 1.2984)^2 * ((0.1)^3 * (1-0.1)^1 * C(4,3)) + (4 - 1.2984)^2 * ((0.1)^4 * (1-0.1)^0 * C(4,4))

Var(x) = (0 - 1.2984)^2 * 0.6561 + (1 - 1.2984)^2 * 1.1664 + (2 - 1.2984)^2 * 0.2916 + (3 - 1.2984)^2 * 0.0486 + (4 - 1.2984)^2 * 0.0001

Var(x) = 0.5156 + 0.0937 + 0.3409 + 0.6001 + 0.1529

Var(x) = 1.7032

Таким образом, распределение вероятностей f(x) для случайной величины x будет представлено следующей функцией:

\[f(x) = (0.1)^x * (0.9)^(4-x) * C(4,x)\]

Математическое ожидание E(x) равно 1.2984, а дисперсия Var(x) равна 1.7032.