What is the electric field intensity at points A and B of a sphere with radius R, which is spherically symmetrically
What is the electric field intensity at points A and B of a sphere with radius R, which is spherically symmetrically charged with a volume charge Q such that ρ(r) ~ r2? Given that rA = 0.5R, and rB = 0.8R, what is the electric field intensity at these points?
Звездопад_В_Космосе 54
Чтобы ответить на этот вопрос, нам потребуется использовать закон Кулона для сферически симметричного распределения заряда. Давайте рассмотрим каждую точку по очереди.Для точки A, мы рассматриваем заряд в объеме сферы радиусом rA, то есть шар с радиусом 0.5R. Объем этого шара можно выразить как \(\frac{4}{3} \pi (rA)^3\).
Зная распределение плотности заряда, мы можем выразить заряд внутри этого шара (Qv) следующим образом:
\[ Qv =\int_{0}^{rA} \rho(r) \cdot 4 \pi r^2 \, dr \]
Используя данную нам функцию плотности: \(\rho(r) = r^2\), мы можем переписать это выражение следующим образом:
\[ Qv = 4 \pi \int_{0}^{rA} r^4 \, dr \]
Вычислим этот интеграл:
\[ Qv = 4 \pi \left[\frac{r^5}{5}\right]_{0}^{rA} \]
\[ Qv = \frac{4\pi}{5}(rA)^5 \]
Теперь, используя закон Кулона, мы можем найти интенсивность электрического поля (E) в точке A, используя следующее соотношение:
\[ E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{Qv}{(rA)^2} \]
Где \(\epsilon_0\) - электрическая постоянная.
Теперь мы можем вычислить E для точки A:
\[ E_A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{\frac{4\pi}{5}(rA)^5}{(rA)^2} \]
\[ E_A = \frac{1}{5\epsilon_0} \cdot (rA)^3 \]
Аналогичным образом, мы можем проделать те же шаги для точки B.
В выражении для заряда внутри шара (Qv), теперь мы будем использовать радиус rB вместо rA:
\[ Qv = 4 \pi \int_{0}^{rB} r^4 \, dr \]
Вычисляем интеграл:
\[ Qv = 4 \pi \left[\frac{r^5}{5}\right]_{0}^{rB} \]
\[ Qv = \frac{4\pi}{5}(rB)^5 \]
Используя закон Кулона, мы можем найти интенсивность электрического поля (E) в точке B:
\[ E_B = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{\frac{4\pi}{5}(rB)^5}{(rB)^2} \]
\[ E_B = \frac{1}{5\epsilon_0} \cdot (rB)^3 \]
Таким образом, мы нашли значения интенсивности электрического поля в точках A и B, и выражения для них являются:
\[ E_A = \frac{1}{5\epsilon_0} \cdot (rA)^3 \]
\[ E_B = \frac{1}{5\epsilon_0} \cdot (rB)^3 \]
Где \(\epsilon_0\) - электрическая постоянная.