What is the equation for the coordinate of a straight moving body, given by x = x0 + at^2 - bt^3, where x0, a

Karamel

33

Конечно! Давайте посмотрим на данное уравнение для координаты движущегося объекта: \(x = x_0 + at^2 - bt^3\), где \(x_0\), \(a\) и \(b\) - константы.

Чтобы определить уравнение для скорости, необходимо найти производную уравнения по времени \(t\). Производная функции \(x\) по времени даст нам \(x" = v = \frac{{dx}}{{dt}}\). Давайте возьмем производные каждого члена уравнения:

\(\frac{{dx}}{{dt}} = v = \frac{{d}}{{dt}}(x_0 + at^2 - bt^3)\)

Чтобы взять производную от каждого члена, мы должны учесть, что производная константы равна нулю, и применить правила дифференцирования к каждому члену:

\(\frac{{dx}}{{dt}} = v = 0 + 2at - 3bt^2\)

Теперь у нас есть уравнение для скорости \(v\) в зависимости от времени \(t\). Давайте построим график зависимости скорости от времени.

Чтобы найти уравнение для ускорения, необходимо снова взять производную от скорости \(v\) по времени \(t\). Производная функции \(v\) по времени даст нам \(v" = a = \frac{{dv}}{{dt}}\). Применим правила дифференцирования, чтобы найти производную:

\(\frac{{dv}}{{dt}} = a = \frac{{d}}{{dt}}(2at - 3bt^2)\)

Снова учтите, что производная константы равна нулю:

\(\frac{{dv}}{{dt}} = a = 2a - 6bt\)

Теперь, у нас есть уравнение для ускорения \(a\) в зависимости от времени \(t\). Давайте построим график зависимости ускорения от времени.

Теперь, касательно вопроса о перемещении объекта после 3 секунд. Для этого, мы сначала должны понять, когда скорость достигнет своего максимального значения.

Дано, что скорость достигает своего максимального значения через 2 секунды. Это означает, что \(v\) в максимуме при \(t = 2\). Подставим это значение в наше уравнение для скорости:

\(v = 2a - 6bt\)

\(v = 2a - 6b(2)\)

\(v = 2a - 12b\)

\(2a - 12b = \text{{максимальная скорость}}\)

Раз мы знаем, что максимальная скорость составляет, мы можем решить это уравнение относительно \(a\):