What is the length of OB if OK and AK are tangents to the circle (O,r) with AB

Zhuchka

4

У нас есть окружность с центром O и радиусом r. Кроме того, мы знаем, что Линии OK и AK являются касательными к этой окружности. Задача заключается в том, чтобы найти длину отрезка OB.

Для начала мы можем заметить, что линии OK и AK являются радиусами окружности (рисунок). Поскольку радиус окружности является перпендикуляром к касательной на точку касания, линия ОК является перпендикуляром к линии AB, а линия АК является перпендикуляром к линии OB. Это позволяет нам сделать несколько геометрических выводов.

\[
\begin{align*}
&\angle AOK = 90^\circ \quad \text{(перпендикулярные линии)} \\
&\angle AOK = \angle AOB \quad \text{(угол между хордой и дугой)} \\
&\angle AOB = 90^\circ \quad \text{(сумма углов в треугольнике AOB)}
\end{align*}
\]

Теперь нам нужно использовать некоторые свойства треугольников, чтобы найти отрезок OB.

Мы можем заметить, что треугольник AOB является прямоугольным (по углу, который мы уже выяснили). Так как мы знаем, что ОК и АК являются радиусами, мы можем сказать, что ОК = АК (радиусы равны). Значит, мы имеем дело с равнобедренным треугольником AOB, в котором AO = BO.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину отрезка OB.

\[
\begin{align*}
\text{По т.Пифагора:} \quad & AB^2 = AO^2 + OB^2 \\
\text{Поскольку} \quad & AO = BO \ \text{(равнобедренный треугольник)} \\
\Rightarrow \quad & AB^2 = 2 \cdot AO^2 \\
\Rightarrow \quad & OB^2 = AB^2 / 2 \\
\Rightarrow \quad & OB = \sqrt{AB^2 / 2}
\end{align*}
\]

Таким образом, длина отрезка OB составляет \(\sqrt{AB^2 / 2}\).

Этот ответ должен быть достаточно понятным для школьника, рассматривая только геометрические и алгебраические концепции, которые ему известны. Конечно, если у нас есть конкретные значения для сегментов AB или радиуса r, мы можем подставить их в формулу, чтобы получить конкретное числовое значение для OB.