What is the probability of randomly arranging 12 computer discs in 12 boxes and finding that: a) each disc is

Tainstvennyy_Leprekon

56

Хорошо, давайте разберем эти задачи по очереди:

а) Вероятность случайного размещения 12 компьютерных дисков в 12 коробках так, чтобы каждый диск был в своей коробке.

Давайте посмотрим на это пошагово. Сначала выбираем одну из 12 коробок для первого диска. Затем остается 11 коробок для второго диска и так далее. Поэтому вероятность того, что первый диск окажется в правильной коробке, равна \(\frac{1}{12}\). Вероятность того, что второй диск окажется в правильной коробке, при условии, что первый диск уже находится в своей коробке, равна \(\frac{1}{11}\). Аналогично, вероятность для каждого следующего диска будет равна \(\frac{1}{10}\), \(\frac{1}{9}\), и так далее. Поэтому общая вероятность будет равна:

\(\frac{1}{12} \times \frac{1}{11} \times \frac{1}{10} \times \frac{1}{9} \times \frac{1}{8} \times \frac{1}{7} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{5} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{1} = \frac{1}{479,001,600}\)

Таким образом, вероятность случайного размещения всех 12 дисков в соответствующих коробках равна \(\frac{1}{479,001,600}\).

b) Вероятность того, что по крайней мере 1 диск не окажется в своей коробке.

Чтобы это вычислить, мы можем использовать дополнение. Поскольку мы только что вычислили вероятность того, что все диски окажутся в своих коробках, мы можем вычесть эту вероятность из 1:

\(1 - \frac{1}{479,001,600} = \frac{479,001,599}{479,001,600}\)

Таким образом, вероятность того, что по крайней мере 1 диск не окажется в своей коробке, равна \(\frac{479,001,599}{479,001,600}\).

c) Вероятность того, что 2 диска поменяются местами, а остальные диски будут в своих коробках.

Для решения этой задачи мы можем сосредоточиться только на паре дисков, которые будут меняться местами. Вероятность такого размещения двух дисков равна \(\frac{1}{2}\) (один диск может быть поставлен в любую из двух коробок).

При этом оставшиеся 10 дисков должны быть в своих коробках, и мы уже знаем, что вероятность этого равна \(\frac{1}{479,001,600}\). Поэтому общая вероятность будет равна:

\(\frac{1}{2} \times \frac{1}{479,001,600} = \frac{1}{958,003,200}\)

Таким образом, вероятность того, что два диска будут поменяны местами, а остальные диски будут в своих коробках, равна \(\frac{1}{958,003,200}\).

d) Вероятность того, что ровно 1 диск не окажется в своей коробке, а остальные диски будут в своих коробках.

Для решения этой задачи мы можем использовать комбинаторику. У нас есть 12 способов выбрать диск, который не окажется в своей коробке (потому что ровно 1 диск должен быть в неправильной коробке). Затем мы можем поместить этот диск в любую из 11 оставшихся коробок. Оставшиеся 11 дисков должны быть размещены в своих коробках, и вероятность этого равна \(\frac{1}{479,001,600}\).

Таким образом, общая вероятность будет равна:

\(\frac{12}{12} \times \frac{1}{11} \times \frac{1}{479,001,600} = \frac{1}{39,916,800}\)

Таким образом, вероятность того, что ровно 1 диск не окажется в своей коробке, а остальные диски будут в своих коробках, равна \(\frac{1}{39,916,800}\).