What is the rewritten form of the equation: Sin(x) * cos(2x) + cos(x) * cos(4x) = sin(pi/4 + 2x) * sin(pi/4 - 3x)?

Весенний_Дождь_2983

67

Хорошо! Давайте разберемся с этой задачей.

Исходное уравнение: \(\sin(x) \cdot \cos(2x) + \cos(x) \cdot \cos(4x) = \sin\left(\frac{\pi}{4} + 2x\right) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4} - 3x\right)\)

Чтобы переписать данный вид уравнения, мы можем воспользоваться тригонометрическими идентичностями и формулами преобразования. Давайте применим некоторые из них:

1) Используем формулу сложения для синуса:
\(\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha) \cdot \cos(\beta) + \cos(\alpha) \cdot \sin(\beta)\)

Применяя эту формулу, мы можем исправить часть уравнения:
\(\sin\left(\frac{\pi}{4} + 2x\right) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4} - 3x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4} + 2x - \left(\frac{\pi}{4} - 3x\right)\right)\)

2) Используем формулу вычитания для синуса:
\(\sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha) \cdot \cos(\beta) - \cos(\alpha) \cdot \sin(\beta)\)

Теперь мы можем переписать исходное уравнение:
\(\sin(x) \cdot \cos(2x) + \cos(x) \cdot \cos(4x) = \sin\left(\frac{\pi}{4} + 2x - \left(\frac{\pi}{4} - 3x\right)\right)\)

Сократим дробь внутри синуса:
\(\sin(x) \cdot \cos(2x) + \cos(x) \cdot \cos(4x) = \sin\left(\frac{\pi}{4} + 2x - \frac{\pi}{4} + 3x\right)\)

Простое сокращение даст нам:
\(\sin(x) \cdot \cos(2x) + \cos(x) \cdot \cos(4x) = \sin(5x)\)

Таким образом, переписанная форма исходного уравнения будет:
\(\sin(x) \cdot \cos(2x) + \cos(x) \cdot \cos(4x) = \sin(5x)\)

Надеюсь, это пояснение поможет вам лучше понять, как переписать данное уравнение. Если у вас остались вопросы или вам нужно рассмотреть другие аспекты этой задачи, пожалуйста, не стесняйтесь задавать дополнительные вопросы!