What is the thermal velocity of electrons in a metal with a concentration of free electrons of 5⋅10^22 cm–3 at a metal

Скат

41

Для решения этой задачи, нам понадобятся следующие формулы:

1. Концентрация свободных электронов в металле можно выразить через его удельное сопротивление \(\rho\) и заряд электрона \(e\):
\[n = \frac{1}{\rho \cdot e}\]

2. Средняя тепловая скорость электрона в металле зависит от его концентрации \(n\) и температуры металла \(T\):
\[v = \sqrt{\frac{3kT}{m}}\]

где \(k\) - постоянная Больцмана (\(1.38 \times 10^{-23} \, \text{Дж}/\text{К}\)), а \(m\) - масса электрона (\(9.11 \times 10^{-31} \, \text{кг}\)).

3. Чтобы выразить скорость в км/с, нам понадобится перевести скорость в м/с и затем в км/с:
\[v_{\text{км/с}} = v_{\text{м/с}} \times \frac{1 \, \text{км/с}}{1000 \, \text{м/с}}\]

Теперь, давайте решим эту задачу пошагово:

Шаг 1: Вычисляем концентрацию свободных электронов:
У нас задано удельное сопротивление металла \(\rho = 0.05 \, \mu\Omega \cdot \text{м}\).
Заряд электрона \(e = 1.6 \times 10^{-19} \, \text{Кл}\).
Используя формулу \(n = \frac{1}{\rho \cdot e}\), можем получить:
\[n = \frac{1}{0.05 \times 10^{-6} \times 1.6 \times 10^{-19}}\]
Вычислим это значение:

n = 3.125 ⋅ 10^28 1/м^3

Шаг 2: Вычисляем среднюю тепловую скорость электрона:
У нас задана температура металла \(T = 23 \,^\circ C = 23 + 273 = 296 \, \text{К}\).
Также у нас есть значение массы электрона \(m = 9.11 \times 10^{-31} \, \text{кг}\).
Используя формулу \(v = \sqrt{\frac{3kT}{m}}\), можем получить:
\[v = \sqrt{\frac{3 \times 1.38 \times 10^{-23} \times 296}{9.11 \times 10^{-31}}}\]
Вычислим это значение:

v = 1.57 ⋅ 10^6 м/с

Шаг 3: Переводим скорость в км/с:
Используем формулу \(v_{\text{км/с}} = v_{\text{м/с}} \times \frac{1 \, \text{км/с}}{1000 \, \text{м/с}}\), чтобы получить ответ в км/с:
\[v_{\text{км/с}} = 1.57 \times 10^6 \times \frac{1}{1000} = 1.57 \, \text{км/с}\]

Таким образом, тепловая скорость электронов в данном металле равна примерно 1.57 км/с (округлено до ближайшего целого значения).