What is the total of all positive solutions of the inequality: 3^2−x > 3^x−11?

Ledyanoy_Volk

57

Дано: неравенство \(3^2 - x > 3^x - 11\).

Давайте решим это неравенство поочередно шаг за шагом.

1. Перепишем неравенство с использованием степеней: \(9 - x > 3^x - 11\).
2. Перенесем все члены на одну сторону неравенства: \(x + 3^x > 20\).
3. Мы замечаем, что нам дано неравенство между x и \(3^x\).
4. Посмотрим на графики функций \(y = x\) и \(y = 3^x\).
5. Очевидно, что \(3^x\) будет расти гораздо быстрее, чем линейная функция x.
6. Таким образом, точки пересечения \(x + 3^x\) и \(y = 20\) будут находиться в некоторой точке, где x становится сравнительно малым по сравнению с \(3^x\).
7. Рассмотрим графики \(y = x\) и \(y = 20 - x\) (для облегчения вычислений).
8. Найдем точку пересечения этих двух функций, подставив их равенство: \(x = 20 - x\).
9. Решая это уравнение, получаем, что \(x = \frac{20}{2} = 10\).

Таким образом, все положительные решения неравенства \(3^2 - x > 3^x - 11\) равны 10.

Ответ: \(x = 10\), сумма всех положительных решений равна 10.