What is the value of log base 16 of (log base 12 of 144 + 2/5 log base

Оксана

28

Для решения данной задачи, давайте разберемся пошагово:

1. Обозначим данную задачу формулой: \(\log_{16}(\log_{12}144 + \frac{2}{5}\log_{12}x)\).

2. Для начала, найдем значение выражения внутри скобок \(\log_{12}144 + \frac{2}{5}\log_{12}x\).

3. Воспользуемся основными свойствами логарифмов для сложения и умножения:

- \(\log_a(bc) = \log_ab + \log_ac\),
- \(\log_a\left(\frac{b}{c}\right) = \log_ab - \log_ac\).

Применим эти свойства:

\(\log_{12}144 + \frac{2}{5}\log_{12}x = \log_{12}(144x^{\frac{2}{5}})\).

4. Мы получили выражение \(\log_{12}(144x^{\frac{2}{5}})\).

5. Далее, заменим данное выражение на переменную \(y\), чтобы сократить его запись: \(y = \log_{12}(144x^{\frac{2}{5}})\).

6. Поскольку нам нужно найти значение логарифма по основанию 16, перепишем вышеизложенное выражение в терминах основания 16:

\(\log_{16}(y) = \log_{16}(\log_{12}(144x^{\frac{2}{5}}))\).

7. Теперь, применим свойство логарифма по основанию 16: \(\log_a(\log_b(x)) = \frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}\).

Применим это свойство к нашему выражению:

\(\log_{16}(y) = \frac{\log_{12}(144x^{\frac{2}{5}})}{\log_{16}(12)}\).

8. Мы уже знаем значение логарифма по основанию 16 для основания 12: \(\log_{16}(12)\).

9. Воспользуемся свойством логарифма, чтобы сократить запись: \(z = \log_{16}(12)\).

10. Теперь, мы можем записать ответ в исходной задаче:

\(\log_{16}(y) = \frac{\log_{12}(144x^{\frac{2}{5}})}{z}\).

11. Однако, для полного ответа, нам нужно найти значение \(z\) и подставить его в формулу. Чтобы найти \(z\), применим определение логарифма:

\(16^z = 12\).

12. Решим это уравнение для \(z\):

\(z = \log_{16}(12)\).

13. Ответ: \(\log_{16}(y) = \frac{\log_{12}(144x^{\frac{2}{5}})}{z}\), где \(z = \log_{16}(12)\).

Пожалуйста, обратите внимание, что данное решение является подробным и обстоятельным, чтобы школьник мог понять процесс решения.