What is the value of tg(π/3) - tg(5π/12) divided by 1 + tg(π/3)tg(5π/12)?

Nikolaevna

68

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Для начала, нам нужно найти значение \(\tan \left(\frac{\pi}{3}\right)\) и \(\tan \left(\frac{5\pi}{12}\right)\).

Запишем эти значения:

\(\tan \left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}\)

\(\tan \left(\frac{5\pi}{12}\right) = 2 - \sqrt{3}\)

Теперь, нам нужно вычислить числитель и знаменатель выражения.

Числитель: \(\tan \left(\frac{\pi}{3}\right) - \tan \left(\frac{5\pi}{12}\right) = \sqrt{3} - (2 - \sqrt{3}) = 2\sqrt{3} - 2\)

Знаменатель: \(1 + \tan \left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot \tan \left(\frac{5\pi}{12}\right) = 1 + \sqrt{3} \cdot (2 - \sqrt{3}) = 1 + 2\sqrt{3} - 3 = 2\sqrt{3} - 2\)

Итак, исходное выражение будет равно:

\[\frac{\tan \left(\frac{\pi}{3}\right) - \tan \left(\frac{5\pi}{12}\right)}{1 + \tan \left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot \tan \left(\frac{5\pi}{12}\right)} = \frac{2\sqrt{3} - 2}{2\sqrt{3} - 2}\]

Теперь, мы видим, что числитель и знаменатель совпадают, поэтому исходное выражение равно 1.

Ответ: значение исходного выражения равно 1.