Каковы координаты вектора, ортогонального вектору n, если вектор m имеет координаты (4;-8;6)?

Тигр

63

Для нахождения вектора, ортогонального вектору \(n\), мы можем воспользоваться свойствами скалярного произведения векторов. Если векторы ортогональны, их скалярное произведение равно нулю. Поэтому нам нужно найти вектор, скалярное произведение которого с вектором \(n\) будет равно нулю.

Так как координаты вектора \(m\) заданы как (4;-8;6), мы можем представить его в виде \(m = \begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ 6 \end{pmatrix}\).

Предположим, что вектор \(n\) имеет координаты \(n = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\), где \(x\), \(y\) и \(z\) - неизвестные координаты вектора \(n\).

Используя свойство скалярного произведения, получаем:

\(m \cdot n = 4x + (-8)y + 6z = 0\)

Теперь мы можем решить это уравнение и найти выражение для вектора \(n\):

\[4x + (-8)y + 6z = 0\]

Упростим это уравнение, поделив все его коэффициенты на 2:

\[2x + (-4)y + 3z = 0\]

Таким образом, для получения вектора, ортогонального вектору \(n\), мы можем выбрать любые значения \(x\), \(y\), \(z\), которые удовлетворяют уравнению \(2x + (-4)y + 3z = 0\).

Давайте возьмем \(x = 2\), \(y = 0\) и найдем соответствующее значение \(z\). Подставим значения в уравнение:

\(2(2) + (-4)(0) + 3z = 0\)

\[4 + 3z = 0\]

\[3z = -4\]

\[z = -\frac{4}{3}\]

Таким образом, вектор \(n\) с координатами \(x = 2\), \(y = 0\) и \(z = -\frac{4}{3}\) будет ортогонален вектору \(m\) с координатами \(4;-8;6\).

Итак, координаты вектора, ортогонального вектору \(n\), равны (2; 0; -\frac{4}{3}).