Як буде відбуватися зміна тиску ідеального газу, якщо середня квадратична швидкість молекул зросте в три рази

Larisa

41

Щоб детально розібратися у зміні тиску ідеального газу, коли середня квадратична швидкість молекул зростає в три рази, треба звернутися до ідеального газового закону та формули для швидкості молекул.

Перш за все, давайте ознайомимося з ідеальним газовим законом, який визначає залежність між тиском (P), об"ємом (V) та температурою (T) ідеального газу. Цей закон записується наступною формулою:

\[PV = nRT\]

де:
- P - тиск газу в паскалях (Па);
- V - об"єм газу в метрах кубічних (м³);
- n - кількість речовини газу у молях, визначена за допомогою кількості відсутніх молекул (моль);
- R - універсальна газова стала, яка дорівнює приблизно 8,314 Дж/(моль·К);
- T - температура газу в кельвінах (К).

Для дослідження зміни тиску газу при зростанні середньої квадратичної швидкості молекул в три рази, ми можемо використовувати формулу для швидкості молекул. Середня квадратична швидкість молекул (v) може бути обчислена за допомогою наступної формули:

\[v = \sqrt{\frac{{3kT}}{{m}}}\]

де:
- v - середня квадратична швидкість молекул (м/c);
- k - стала Больцмана, яка дорівнює приблизно \(1,38 \times 10^{-23} \, \text{Дж/К}\);
- T - температура газу в кельвінах (К);
- m - маса однієї молекули газу в кілограмах (кг).

Якщо середня квадратична швидкість молекул зростає в три рази, залишаючи концентрацію незмінною, це означає, що температура також збільшиться в три рази. Будемо позначати початкову температуру як \(T_1\) і кінцеву температуру як \(T_2\). Будь-який множник для зростання в три рази означає множення числа на цей множник. Таким чином, \(T_2 = 3T_1\) (де \(T_2\) - кінцева температура, \(T_1\) - початкова температура).

Тепер ми можемо розглянути залежність між тиском і температурою, використовуючи ідеальний газовий закон. Запишемо початкову і кінцеву умови:

Для початкового стану (що відповідає початковій температурі \(T_1\) та початковому тиску \(P_1\)):
\[P_1V = nRT_1 \quad \text{(1)}\]

Для кінцевого стану (що відповідає кінцевій температурі \(T_2\) та кінцевому тиску \(P_2\)):
\[P_2V = nRT_2 \quad \text{(2)}\]

Щоб провести подальший аналіз, розтавимо \(n\) та \(V\). Запишемо \(n = \frac{m}{M}\) (де \(m\) - маса газу, \(M\) - молярна маса газу) та \(V = \frac{V_0}{n}\) (де \(V_0\) - початковий об"єм газу). Підставимо ці значення у формули (1) та (2):

\[P_1 \cdot \frac{V_0}{n} = nRT_1\]
\[P_2 \cdot \frac{V_0}{n} = nRT_2\]

Далі замінимо \(n\) на \(\frac{m}{M}\):

\[P_1 \cdot \frac{V_0 \cdot M}{m} = \frac{m}{M} \cdot R \cdot T_1\]
\[P_2 \cdot \frac{V_0 \cdot M}{m} = \frac{m}{M} \cdot R \cdot T_2\]

Продовжимо спрощувати:

\[P_1 \cdot V_0 \cdot M = \frac{m^2}{M} \cdot R \cdot T_1\]
\[P_2 \cdot V_0 \cdot M = \frac{m^2}{M} \cdot R \cdot T_2\]

Тепер ми знаємо, що у нас є зміна температури у три рази, тому \(T_2 = 3T_1\). Підставимо це значення у формули:

\[P_1 \cdot V_0 \cdot M = \frac{m^2}{M} \cdot R \cdot T_1\]
\[P_2 \cdot V_0 \cdot M = \frac{m^2}{M} \cdot R \cdot (3T_1)\]

Зводимо до спільного знаменника:

\[P_1 \cdot V_0 \cdot M = m^2 \cdot R \cdot T_1\]
\[P_2 \cdot V_0 \cdot M = 3m^2 \cdot R \cdot T_1\]

Ділимо другу формулу на першу:

\[\frac{P_2 \cdot V_0 \cdot M}{P_1 \cdot V_0 \cdot M} = \frac{3m^2 \cdot R \cdot T_1}{m^2 \cdot R \cdot T_1}\]

Зменшуємо спільний множник:

\[\frac{P_2}{P_1} = \frac{3m^2 \cdot R \cdot T_1}{m^2 \cdot R \cdot T_1}\]

Скорочуємо \(m^2\), \(R\) і \(T_1\):

\[\frac{P_2}{P_1} = \frac{3 \cdot R \cdot T_1}{R \cdot T_1}\]

Спрощуємо:

\[\frac{P_2}{P_1} = 3\]

Отже, ми отримуємо, що при зміні середньої квадратичної швидкості молекул в три рази, залишаючи концентрацію незмінною, тиск газу також зміниться в три рази. Значення тиску в кінцевому стані буде втричі більше, ніж значення тиску в початковому стані.