Каково максимальное напряжение Uo на конденсаторе в колебательном контуре с конденсатором ёмкостью C = 20 мкФ, катушкой

Skvorec

42

Для решения данной задачи воспользуемся уравнением для колебательного контура, в котором участвуют конденсатор и катушка. Это уравнение выражает зависимость между напряжением на конденсаторе и зарядом, хранящемся на нем, а также между током в контуре и изменением заряда во времени.

Уравнение для колебательного контура:
\(\frac{{d^2Q}}{{dt^2}} + \frac{{R}}{{L}}\frac{{dQ}}{{dt}} + \frac{{Q}}{{LC}} = 0\)

В данной задаче мы можем пренебречь омическим сопротивлением (R = 0), поэтому уравнение примет следующий вид:
\(\frac{{d^2Q}}{{dt^2}} + \frac{{Q}}{{LC}} = 0\)

Также мы знаем, что заряд Q на конденсаторе связан с напряжением U на нем следующей формулой:
\(Q = CU\)

Подставим это выражение в уравнение контура и проведем дальнейшие вычисления.

\(\frac{{d^2(CU)}}{{dt^2}} + \frac{{CU}}{{LC}} = 0\)
\(\frac{{d^2U}}{{dt^2}} + \frac{{U}}{{LC}} = 0\)

Это уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка.

Воспользуемся характеристическим уравнением линейного дифференциального уравнения:
\(k^2 + \frac{{1}}{{LC}} = 0\)

Решая это квадратное уравнение относительно k, получаем:
\(k = \pm \sqrt{\frac{{1}}{{LC}}}\)

Заметим, что данное уравнение имеет мнимые корни (так как радикал из отрицательного числа). Обозначим мнимую единицу как i.

\(k = \pm \sqrt{\frac{{1}}{{LC}}} = \pm \frac{{1}}{{\sqrt{LC}}}i\)

Далее, используем формулу для общего решения линейного дифференциального уравнения второго порядка:
\(U(t) = A\cos(kt) + B\sin(kt)\)

Здесь A и B - произвольные постоянные. Подставим найденное значение k и продолжим вычисления.

\(U(t) = A\cos\left(\frac{{1}}{{\sqrt{LC}}}it\right) + B\sin\left(\frac{{1}}{{\sqrt{LC}}}it\right)\)

Так как нас интересует максимальное значение напряжения, то рассмотрим мгновение времени, когда функция достигает своего максимума. Для синусоиды это происходит при аргументе \(k t = \frac{\pi}{2}\), а для косинуса - при \(k t = 0\).

\(B = U_{max}\), так как в момент времени \(t_0 = 0\) косинус равен 1

\(A\cos\left(\frac{{1}}{{\sqrt{LC}}}i \cdot 0\right) + U_{max} \sin\left(\frac{{1}}{{\sqrt{LC}}}i \cdot 0\right) = 0 + U_{max} \sin(0) = U_{max}\)

Подставим значения \(L = 5 \, \text{мГн}\) и \(C = 20 \, \text{мкФ}\) в полученное выражение:
\(U_{max} = \frac{{I_0}}{{\omega C}}\), где \(\omega = \frac{{1}}{{\sqrt{LC}}}\)

Вычислим значения:
\(\omega = \frac{{1}}{{\sqrt{5 \cdot 10^{-3} \cdot 20 \cdot 10^{-6}}}} \approx 1000 \, \text{рад/с}\)
\(I_0 = 20 \, \text{мА}\)
\(C = 20 \, \text{мкФ}\)

\(U_{max} = \frac{{0.02}}{{1000 \cdot 0.00002}} \approx 1 \, \text{В}\)

Таким образом, максимальное напряжение \(U_0\) на конденсаторе в колебательном контуре составит около 1 Вольта.