Як довести, що площа опуклого чотирикутника з перпендикулярними діагоналями дорівнює половині добутку цих діагоналей?

Zvezdnyy_Pyl

63

Добро пожаловать в занятие математики! Чтобы доказать, что площадь опуклого четырехугольника с перпендикулярными диагоналями равна половине произведения этих диагоналей, мы воспользуемся свойствами прямоугольников и параллелограммов.

Давайте рассмотрим опуклый четырехугольник ABCD с перпендикулярными диагоналями AC и BD.
Для начала, нам потребуется вспомнить следующие определения и свойства:
1. Площадь прямоугольника равна произведению длин его сторон.
2. Площадь параллелограмма равна произведению длины одной его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Теперь приступим к доказательству.

Шаг 1: Докажем, что четырехугольник ABOC - прямоугольник.
1.1) Так как диагонали AC и BD перпендикулярны, то углы ABC и CDA являются прямыми углами (угол в 90 градусов).
1.2) Значит, по свойству прямоугольника, все углы этого четырехугольника тоже являются прямыми.
1.3) Таким образом, четырехугольник ABOC - прямоугольник.

Шаг 2: Выведем выражение для площади четырехугольника ABCD.
2.1) Площадь четырехугольника ABCD равна сумме площадей треугольников ABO и ODC.
2.2) Площадь треугольника ABO равна половине произведения его основания AB и высоты, проведенной к этому основанию.
2.3) Аналогично, площадь треугольника ODC равна половине произведения его основания CD и высоты, проведенной к этому основанию.
2.4) Таким образом, площадь четырехугольника ABCD равна половине произведения суммы длин его оснований AB и CD на высоту, проведенную к этим основаниям.

Шаг 3: Докажем, что сумма длин оснований AB и CD равна длине диагонали AC.
3.1) Рассмотрим треугольник ABC.
3.2) По теореме Пифагора, квадрат длины гипотенузы AC равен сумме квадратов длин катетов AB и BC.
3.3) Так как угол ABC - прямой, и диагонали AC и BD перпендикулярны, то мы можем записать, что AB^2 + BC^2 = AC^2.
3.4) Аналогично, для треугольника CDA получаем, что CD^2 + AD^2 = AC^2.
3.5) Сложив эти два равенства, мы получаем (AB^2 + BC^2) + (CD^2 + AD^2) = 2AC^2.
3.6) Используя распределительное свойство, это можно записать в виде (AB^2 + CD^2) + (BC^2 + AD^2) = 2AC^2.
3.7) Учитывая, что BC = AD (основания параллельны), мы можем записать, что (AB^2 + CD^2) + 2BC^2 = 2AC^2.
3.8) Поделив обе части равенства на 2, получаем AB^2 + CD^2 + BC^2 = AC^2.
3.9) Заметим, что AB^2 + CD^2 + BC^2 - AC^2 = 0.
3.10) Раскроем скобки в выражении для площади четырехугольника ABCD и учтем равенство из пункта 3.9.
3.11) Получаем, что площадь четырехугольника ABCD равна половине произведения диагоналей AC и BD.

Таким образом, мы доказали, что площадь опуклого четырехугольника с перпендикулярными диагоналями действительно равна половине произведения этих диагоналей.
Надеюсь, эта пошаговая доказательство помогла вам лучше понять данное свойство четырехугольников! Если у вас остались вопросы или требуется дополнительное объяснение, пожалуйста, не стесняйтесь спросить. Удачи в учебе!