Як можна знайти периметр тупокутної рівнобічної трапеції з основами, які пропорційні числам 2 і 5, при тупому куті 120°

Игорь

2

Для решения этой задачи нам потребуется знание формулы для периметра трапеции.

Периметр трапеции вычисляется суммой длин всех ее сторон. В данном случае у нас есть две боковые стороны и две основы трапеции.

Для начала найдем длину боковой стороны. Мы знаем, что боковые стороны трапеции пропорциональны числам 2 и 5. Пусть длина первой боковой стороны равна 2x, а длина второй боковой стороны - 5x, где x - неизвестное число.

Также известно, что трапеция является ровнобедренной, поэтому основы трапеции равны друг другу. Пусть длина каждой основы равна y.

Теперь, чтобы найти периметр трапеции, нам нужно сложить длины всех сторон. В нашем случае:

Периметр = длина первой боковой стороны + длина второй боковой стороны + длина первой основы + длина второй основы

Подставляем известные значения:

Периметр = 2x + 5x + y + y

Для удобства объединим подобные члены:

Периметр = 7x + 2y

Задача также говорит нам, что тупой угол трапеции равен 120°. В ровнобедренной трапеции тупой угол находится между боковой стороной и основой.

Так как у нас есть прямоугольный треугольник со сторонами 2x, y и x (половина основы), мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти значения x и y.

По теореме Пифагора:

\(x^2 + y^2 = (2x)^2\)

\(x^2 + y^2 = 4x^2\)

\(y^2 = 4x^2 - x^2\)

\(y^2 = 3x^2\)

Теперь мы можем использовать этот результат, чтобы найти выражение для угла в трапеции. Для этого мы используем тангенс:

\(\tan(\text{угол}) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}\)

В нашем случае противолежащий катет - это \(y\), а прилежащий катет - это \(x\).

Из теоремы тангенса:

\(\tan(120^\circ) = \frac{y}{x}\)

Так как тангенс 120° равен \(-\sqrt{3}\), это дает нам следующее уравнение:

\(-\sqrt{3} = \frac{y}{x}\)

Мы можем использовать это уравнение для нахождения отношения \(y\) к \(x\).

Теперь у нас есть два уравнения, связывающих \(x\) и \(y\):

\(y^2 = 3x^2\)

\(-\sqrt{3} = \frac{y}{x}\)

Мы можем решить это систему уравнений методом подстановки или методом избавления от переменных.

Если вы примените эти шаги, вы сможете найти значение \(x\) и \(y\), и затем вычислить периметр трапеции, используя формулу периметра, которую мы обсудили ранее.