Як розрахувати площу області між параболою y=8- x^2 і прямою y=x^2?

Murzik

18

Чтобы рассчитать площадь области между параболой \(y = 8 - x^2\) и прямой \(y = x^2\), нам понадобится найти точки пересечения этих двух кривых. Для этого приравняем уравнения параболы и прямой:

\[8 - x^2 = x^2\]

Теперь решим это уравнение относительно \(x\):

\[2x^2 = 8\]

\[x^2 = 4\]

\[x = \pm 2\]

Итак, получили две точки пересечения: \((-2, 4)\) и \((2, 4)\).

Для решения задачи мы можем разбить область на две части, симметричные относительно оси \(y\). Рассмотрим только положительные значения \(x\) для упрощения расчетов.

В пределах от \(x = 0\) до \(x = 2\) парабола \(y = 8 - x^2\) находится выше прямой \(y = x^2\). Поэтому, чтобы найти площадь этой части, мы можем вычислить интеграл:

\[A_1 = \int_0^2 (8 - x^2 - x^2) \,dx\]

\[A_1 = \int_0^2 (8 - 2x^2) \,dx\]

\[A_1 = \left[8x - \frac{2}{3}x^3\right]_0^2\]

\[A_1 = \left[8 \cdot 2 - \frac{2}{3} \cdot 2^3\right] - \left[8 \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot 0^3\right]\]

\[A_1 = 16 - \frac{16}{3}\]

\[A_1 = \frac{32}{3}\]

Таким образом, площадь этой части области равна \(\frac{32}{3}\).

Аналогично, в пределах от \(x = 0\) до \(x = 2\) прямая \(y = x^2\) находится выше параболы \(y = 8 - x^2\). Поэтому площадь этой части вычисляется с помощью интеграла:

\[A_2 = \int_0^2 (x^2 - (8 - x^2)) \,dx\]

\[A_2 = \int_0^2 (2x^2 - 8) \,dx\]

\[A_2 = \left[\frac{2}{3}x^3 - 8x\right]_0^2\]

\[A_2 = \left[\frac{2}{3} \cdot 2^3 - 8 \cdot 2\right] - \left[\frac{2}{3} \cdot 0^3 - 8 \cdot 0\right]\]

\[A_2 = \frac{16}{3} - 16\]

\[A_2 = -\frac{32}{3}\]

Таким образом, площадь этой части области равна \(-\frac{32}{3}\).

Окончательный ответ: площадь области между параболой \(y = 8 - x^2\) и прямой \(y = x^2\) равна \(\frac{32}{3} - \frac{32}{3} = 0\).