Як швидко три подруги - Віра, Надія і Любов - зберуть ягоди на галявині, якщо Віра і Надія роблять це разом

  • 55
Як швидко три подруги - Віра, Надія і Любов - зберуть ягоди на галявині, якщо Віра і Надія роблять це разом за 20 хвилин, Надія і Любов - за 12 хвилин, а Віра і Любов - за 15 хвилин?
Глеб
50
Давайте решим эту задачу о сборе ягод методом систем уравнений.

Предположим, что скорость сбора ягод каждой девочки постоянна. Пусть скорость сбора ягод Виры - \(V_V\), скорость сбора ягод Нади - \(V_N\), а скорость сбора ягод Любы - \(V_L\).

Из условия задачи у нас есть следующие данные:
- Вира и Надя собирают ягоды вместе за 20 минут, следовательно, их общая скорость сбора ягод составляет \(\frac{1}{20}\) доли галявины в минуту.
- Надя и Люба собирают ягоды вместе за 12 минут, следовательно, их общая скорость сбора ягод составляет \(\frac{1}{12}\) доли галявины в минуту.
- Вира и Люба собирают ягоды вместе за 15 минут, следовательно, их общая скорость сбора ягод составляет \(\frac{1}{15}\) доли галявины в минуту.

Теперь мы можем составить систему уравнений.

Уравнение 1: Вира и Надя работают вместе:
\[
V_V + V_N = \frac{1}{20}
\]

Уравнение 2: Надя и Люба работают вместе:
\[
V_N + V_L = \frac{1}{12}
\]

Уравнение 3: Вира и Люба работают вместе:
\[
V_V + V_L = \frac{1}{15}
\]

Теперь у нас есть система из трех уравнений с тремя неизвестными. Решим ее.

Из уравнения 1 выразим \(V_V\) через \(V_N\):
\[
V_V = \frac{1}{20} - V_N
\]

Из уравнения 2 выразим \(V_L\) через \(V_N\):
\[
V_L = \frac{1}{12} - V_N
\]

Подставим эти выражения в уравнение 3 и решим его:
\[
\frac{1}{20} - V_N + \frac{1}{12} - V_N = \frac{1}{15}
\]

Совместим дроби и сгруппируем все \(V_N\) в одну часть уравнения:
\[
\frac{6 + 10}{120} - 2V_N = \frac{8}{120}
\]

Исключим общий знаменатель:
\[
\frac{16}{120} - 2V_N = \frac{8}{120}
\]

Сократим дроби и упростим:
\[
\frac{1}{5} - 2V_N = \frac{1}{15}
\]

Перенесем \(\frac{1}{5}\) на другую сторону уравнения:
\[
-2V_N = \frac{1}{15} - \frac{1}{5} = \frac{1}{15} - \frac{3}{15} = -\frac{2}{15}
\]

Домножим обе части уравнения на \(-\frac{1}{2}\):
\[
V_N = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{15} = \frac{1}{15}
\]

Таким образом, скорость сбора ягод Нади (\(V_N\)) равна \(\frac{1}{15}\) доли галявины в минуту.

Теперь, используя это значение, найдем скорости сбора ягод Виры (\(V_V\)) и Любы (\(V_L\)).

Iз уравнения 1:
\[
V_V = \frac{1}{20} - V_N = \frac{1}{20} - \frac{1}{15} = \frac{3}{60} - \frac{4}{60} = -\frac{1}{60}
\]

Iз уравнения 2:
\[
V_L = \frac{1}{12} - V_N = \frac{1}{12} - \frac{1}{15} = \frac{5}{60} - \frac{4}{60} = \frac{1}{60}
\]

Таким образом, скорость сбора ягод Виры (\(V_V\)) равна \(-\frac{1}{60}\) доли галявины в минуту, а скорость сбора ягод Любы (\(V_L\)) равна \(\frac{1}{60}\) доли галявины в минуту.

Для того чтобы найти время, за которое три подруги соберут ягоды на галявине, мы должны сложить их скорости сбора ягод:
\[
V_{\text{общ}} = V_V + V_N + V_L = -\frac{1}{60} + \frac{1}{15} + \frac{1}{60} = 0
\]

Таким образом, общая скорость сбора ягод трех подруг равна нулю, что означает, что они никогда не закончат сбор ягод на галявине.

Ответ: Три подруги - Вира, Надя и Люба - не смогут закончить сбор ягод на галявине, так как общая скорость их сбора ягод равна нулю.