Як високо підніметься кулька масою 5г, яка випускається вертикально вгору з дитячого пістолета, якщо пружина

Щавель

17

Для розв"язання даної задачі, нам знадобиться використати закони гармонічного коливання і кінематику руху.

Закон гармонічного коливання стверджує, що період коливання \(T\) пружини залежить від її жорсткості \(k\) та її маси \(m\) за формулою:
\[T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\]

У нашій задачі маємо жорсткість \(k = 9.8\) та масу \(m = 5\) грамів (\(1\) грам = \(0.001\) кілограма). Переведемо масу в кілограми:
\[m = 5 \cdot 0.001 = 0.005 \, \text{кг}\]

Тепер підставимо значення у формулу періоду коливання:
\[T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{0.005}{9.8}}\]

Обчислимо це значення:
\[T \approx 2\pi\sqrt{0.005/9.8} \approx 2\pi\sqrt{0.00051} \approx 2\pi \cdot 0.0226 \approx 0.142 \, \text{c}\]

Отримали період коливання пружини, коли вона розтягнута від максимально стиснутого стану до максимально розтягнутого стану.

Тепер, щоб визначити, наскільки високо підніметься кулька, нам потрібно знайти відстань, яку кулька пройде за час одного періоду коливання \(T\).
Це можна зробити за формулою кінематики руху:
\[s = v_0 \cdot T + \frac{1}{2} \cdot g \cdot T^2\]

У нашому випадку, кулька випускається вертикально вгору без початкової швидкості (\(v_0 = 0\)) і прискорення вільного падіння (\(g\)) буде спрямоване вниз, тому \(g = -9.8 \, \text{м/с}^2\).

Підставимо значення в формулу:
\[s = 0 \cdot T + \frac{1}{2} \cdot (-9.8) \cdot T^2 = -4.9 \cdot T^2\]

Таким чином, внаслідок періодичних коливань пружини, кулька буде підніматися і опускатися на висоту \(s = -4.9 \cdot T^2\) за кожен період коливання \(T\).

Підставимо значення періоду \(T\) для обчислення висоти:
\[s = -4.9 \cdot (0.142)^2 \approx -4.9 \cdot 0.020164 \approx -0.0986 \, \text{м}\]

Отже, кулька підніметься на висоту приблизно рівну \(-0.0986\) метра. Знак "мінус" вказує, що висота відлічується від початкового положення, тобто кулька підніметься вгору.

Важливо зауважити, що у даному розв"язанні було застосовано деякі припущення, такі як відсутність опору повітря та ідеальність пружини. У реальних умовах, рухаючись вгору, кулька буде зупинятися і повертатися вниз на горизонтальну відстань меншу за висоту підйому. Також, треба бути обережним при роботі з пружинами, оскільки вони можуть мати власну масу та недосконалості, які можуть вплинути на точність розрахунків.