Як зміниться радіус кола, описаного навколо правильного дванадцятикутника, якщо довжина сторони цього дванадцятикутника

Pugayuschaya_Zmeya

66

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойство равностороннего двенадцатиугольника, а именно то, что все его стороны и углы равны между собой.

Пусть изначальная длина стороны двенадцатиугольника равна \(a\), а радиус описанной окружности равен \(R\). Мы хотим узнать, как изменится радиус окружности, если изменилась длина стороны двенадцатиугольника.

Обозначим новую длину стороны двенадцатиугольника через \(a"\). Поскольку все стороны равны между собой, мы можем сказать, что \(a" = a + \Delta a\), где \(\Delta a\) - изменение длины стороны.

Теперь давайте рассмотрим треугольник, образованный одной из сторон и радиусом описанной окружности.

Этот треугольник - равносторонний, так как все его стороны равны между собой. Длина каждой стороны равна радиусу описанной окружности \(R\).

Мы можем использовать закон синусов, чтобы найти новый радиус \(R"\) в зависимости от изменения длины стороны:

\[
\frac{a"}{\sin(\angle A)} = \frac{R"}{\sin(\angle \frac{180^\circ}{12})}
\]

Поскольку треугольник равносторонний, угол \(\angle A\) равен \(60^\circ\), а угол \(\angle \frac{180^\circ}{12}\) также равен \(30^\circ\). Заменяя значения в уравнении, получим:

\[
\frac{a + \Delta a}{\sin(60^\circ)} = \frac{R"}{\sin(30^\circ)}
\]

Теперь мы можем найти \(R"\), изолировав его в уравнении:

\[
R" = \frac{(a + \Delta a) \cdot \sin(30^\circ)}{\sin(60^\circ)}
\]

Данный вывод позволяет нам определить зависимость нового радиуса описанной окружности от изменения длины стороны двенадцатиугольника.