Каков объем цилиндра, который вписан в призму со стороной 3 см, а основание призмы образует прямоугольный треугольник

Пятно

65

Для решения данной задачи нам понадобится использовать некоторые свойства цилиндра и призмы. Давайте рассмотрим каждый шаг подробно.

Шаг 1: Найдем высоту призмы.
У нас есть прямоугольный треугольник с катетами 4 см и углом 60 градусов. Для нахождения гипотенузы треугольника, воспользуемся формулой косинусов:
\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\alpha)\]
Где \(a\) - гипотенуза, \(b\) и \(c\) - катеты, \(\alpha\) - угол между катетами.

Применяя формулу, получим:
\[a^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos(60^\circ)\]
\[a^2 = 16 + 9 - 24 \cdot \frac{1}{2}\]
\[a^2 = 17\]
\[a = \sqrt{17}\]

Таким образом, высота призмы равна \(\sqrt{17}\) см.

Шаг 2: Найдем радиус вписанного цилиндра.
Для вписанного цилиндра его высота будет равна высоте призмы, а радиус будет половиной основания призмы. Так как одно из оснований призмы - прямоугольный треугольник, то его основание будет равно стороне, лежащей против угла 60 градусов. Таким образом, радиус цилиндра будет равен \(\frac{4}{2} = 2\) см.

Шаг 3: Найдем объем цилиндра.
Объем цилиндра можно вычислить, используя формулу:
\[V = \pi r^2 h\]
где \(V\) - объем цилиндра, \(\pi\) - математическая константа, \(r\) - радиус цилиндра, \(h\) - высота цилиндра.

Подставим значения, которые мы уже нашли в предыдущих шагах:
\[V = \pi \cdot 2^2 \cdot \sqrt{17}\]
\[V = 4\pi \sqrt{17}\]

Итак, объем цилиндра, который вписан в призму со стороной 3 см и основанием, образующим прямоугольный треугольник с катетами 4 см и углом 60 градусов, равен \(4\pi \sqrt{17}\) кубических сантиметров.

Надеюсь, объяснение было понятным и полезным.