Як знайти швидкість точки в момент часу 3 секунди після початку руху, якщо точка рухається за законом s(t) = 1/3t^3

Svetlyachok_V_Lesu

43

Щоб знайти швидкість точки в певний момент часу, ми можемо застосувати похідну до функції руху s(t). Давайте продемонструємо цей процес крок за кроком.

1. Почнемо з виразу для функції руху s(t):
\[s(t) = \frac{1}{3}t^3 + 4t\]

2. Застосуємо правило диференціювання суми для похідної кожного члена окремо. Пам"ятайте, що похідна константи (у цьому випадку 4t) рівна нулю.
\[s"(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{3}t^3\right) + \frac{d}{dt}(4t)\]

3. Використовуємо правило степеневого диференціювання для похідної першого члена. Похідна від \(t^n\) рівна \(n \cdot t^{n-1}\).
\[s"(t) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{dt}(t^3) + 4\]

4. Обчислюємо похідну від \(t^3\), використовуючи правило степеневого диференціювання. Похідна від \(t^3\) дорівнює \(3t^2\).
\[s"(t) = \frac{1}{3} \cdot 3t^2 + 4\]

5. Спрощуємо вираз, враховуючи те, що \(\frac{1}{3} \cdot 3\) дорівнює 1.
\[s"(t) = t^2 + 4\]

6. Тепер ми маємо готову функцію швидкості \(s"(t)\). Для того, щоб знайти швидкість в момент часу 3 секунди після початку руху, підставимо \(t = 3\) у функцію:
\[s"(3) = 3^2 + 4 = 9 + 4 = 13\]

Отже, швидкість точки в момент часу 3 секунди після початку руху дорівнює 13 одиницям на одиницю часу.