Як знайти точку d (x; y; 0), яка знаходиться на однаковій відстані від трьох вказаних точок: а (0; 1; -1), b (-1

Ilya

5

Для решения этой задачи, нам необходимо найти такую точку \(d(x, y, 0)\), которая будет находиться на одинаковом расстоянии от трех заданных точек \(a(0, 1, -1)\), \(b(-1, 0, 1)\) и \(c(0, -1, -1)\).

Для начала, нам нужно выразить расстояние между точками с помощью формулы расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве.
Расстояние между двумя точками \(P_1(x_1, y_1, z_1)\) и \(P_2(x_2, y_2, z_2)\) можно вычислить с использованием формулы:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\]

Наша цель - найти значение \(x\) и \(y\) для точки \(d(x, y, 0)\), где \(d\) будет равно расстоянию до точек \(a\), \(b\) и \(c\). Поэтому нам необходимо решить следующую систему уравнений:

\[\begin{cases}
\sqrt{(0 - x)^2 + (1 - y)^2 + (-1 - 0)^2} = \sqrt{(-1 - x)^2 + (0 - y)^2 + (1 - 0)^2} \\
\sqrt{(0 - x)^2 + (1 - y)^2 + (-1 - 0)^2} = \sqrt{(0 - x)^2 + (-1 - y)^2 + (-1 - 0)^2}
\end{cases}\]

Произведя необходимые вычисления, упростим каждое из уравнений:

\[\begin{cases}
\sqrt{x^2 + (1 - y)^2 + 1} = \sqrt{(x + 1)^2 + y^2 + 1} \\
\sqrt{x^2 + (1 - y)^2 + 1} = \sqrt{x^2 + (y + 1)^2 + 1}
\end{cases}\]

Возведем оба уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

\[\begin{cases}
x^2 + (1 - y)^2 + 1 = (x + 1)^2 + y^2 + 1 \\
x^2 + (1 - y)^2 + 1 = x^2 + (y + 1)^2 + 1
\end{cases}\]

Раскроем скобки и упростим уравнения:

\[\begin{cases}
x^2 + 1 - 2y + y^2 + 1 = x^2 + 2x + 1 + y^2 + 1 \\
x^2 + 1 - 2y + y^2 + 1 = x^2 + y^2 + 2y + 1
\end{cases}\]

Удалим одинаковые члены слева и справа и упростим дальше:

\[\begin{cases}
-2y + 2 = 2x + 2y \\
-2y + 2 = 2y + 2
\end{cases}\]

Продолжим упрощение:

\[\begin{cases}
4y = 2x - 2 \\
2y = 0
\end{cases}\]

Получившаяся система имеет два уравнения, которые могут быть решены методом подстановок или методом сложения/вычитания уравнений. Заметим, что второе уравнение \(2y = 0\) дает нам \(y = 0\). Подставим это значение \(y\) в первое уравнение:

\[4(0) = 2x - 2\]
\[0 = 2x - 2\]
\[2 = 2x\]
\[x = 1\]

Таким образом, решение системы уравнений состоит из точки \(d(1, 0, 0)\). Точка \(d\) находится на одинаковом расстоянии от точек \(a\), \(b\) и \(c\).