Найти значение cos2B в треугольнике ABC, где ∠C = 90° и sinB = 3√5/10√5

Sarancha

34

Хорошо, давайте решим задачу и найдем значение \(cos2B\) в треугольнике ABC.

Известно, что в треугольнике ABC угол C равен 90 градусам, что означает, что треугольник ABC - прямоугольный треугольник.

Также, дано, что \(\sin B = \frac{{3\sqrt{5}}}{{10\sqrt{5}}}\). Мы можем использовать эту информацию, чтобы найти значение \(\cos B\).

Для начала, воспользуемся тригонометрическим соотношением для прямоугольного треугольника: \(\sin^2 B + \cos^2 B = 1\). Мы знаем значение \(\sin B\), так что мы можем подставить его в уравнение:

\(\left(\frac{{3\sqrt{5}}}{{10\sqrt{5}}}\right)^2 + \cos^2 B = 1\)

\(\frac{{9 \cdot 5}}{{100}} + \cos^2 B = 1\)

\(\frac{{45}}{{100}} + \cos^2 B = 1\)

\(\frac{{45 + 100\cos^2 B}}{{100}} = 1\)

Теперь, нам нужно найти значение \(\cos B\). Для этого решим полученное уравнение:

\(\frac{{45 + 100\cos^2 B}}{{100}} = 1\)

Умножим обе части уравнения на 100, чтобы избавиться от знаменателя:

\(45 + 100\cos^2 B = 100\)

Вычтем 45 из обеих частей уравнения:

\(100\cos^2 B = 100 - 45\)

\(100\cos^2 B = 55\)

Разделим обе части уравнения на 100:

\(\cos^2 B = \frac{{55}}{{100}}\)

Сократим дробь:

\(\cos^2 B = \frac{{11}}{{20}}\)

Теперь, чтобы найти значение \(\cos B\), извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

\(\cos B = \sqrt{\frac{{11}}{{20}}}\)

Поскольку нам нужно найти значение \(cos2B\), мы можем воспользоваться тригонометрическим тождеством: \(cos2B = 2\cos^2 B - 1\).

Подставим значение \(\cos B\), которое мы нашли, в это тождество:

\(cos2B = 2\left(\sqrt{\frac{{11}}{{20}}}\right)^2 - 1\)

\(cos2B = 2\cdot\frac{{11}}{{20}} - 1\)

\(cos2B = \frac{{22}}{{20}} - 1\)

\(cos2B = \frac{{11}}{{10}} - 1\)

\(cos2B = \frac{{1}}{{10}}\)

Итак, значение \(cos2B\) в треугольнике ABC равно \(\frac{{1}}{{10}}\).