Какой объем конуса, получаемого плоскостью, параллельной основанию и проходящей через середину высоты, составляет часть

Зимний_Вечер

57

Чтобы получить ответ на этот вопрос, давайте разберемся с понятием части объема конуса, которую получаем плоскостью, параллельной основанию и проходящей через середину высоты.

Предположим, у нас есть конус с основанием радиусом \( r \) и высотой \( h \), где \( r \) и \( h \) - положительные числа.

Объем целого конуса равен \(\frac{1}{3} \pi r^2 h\).

Теперь рассмотрим плоскость, проходящую через середину высоты и параллельную основанию конуса. Эта плоскость разделит наш конус на две части: верхнюю и нижнюю.

Чтобы найти объем части, образуемой верхней частью конуса, возьмем плоскость, проходящую через середину высоты, и выберем произвольную точку на этой плоскости. Обозначим эту точку как \( A \).

Заметим, что плоскость параллельна основанию конуса, поэтому линия, соединяющая точки \( A \) и центра основания, будет перпендикулярна плоскости и будет проходить через центр основания. Обозначим эту линию как \( AO \), где \( O \) - центр основания.

Поскольку плоскость проходит через середину высоты, линия \( AO \) поделит высоту пополам, поэтому у нас будет прямоугольный треугольник \( AOH \), где \( H \) - середина высоты.

Таким образом, мы получаем два подобных треугольника: \( AOH \) и основной треугольник конуса. По свойству подобных треугольников, отношение длины высоты прямоугольного треугольника \( AOH \) к длине высоты основного треугольника конуса будет равно отношению длины одного катета \( OH \) к длине соответствующего катета в основном треугольнике.

Отношение длины катета \( OH \) к длине высоты конуса можно найти, используя свойство подобности треугольников. Так как \( OH \) - это половина высоты конуса, а высота треугольника конуса равна \( h \), то отношение будет \(\frac{1}{2}\).

Теперь у нас есть отношение длины высоты треугольника \( AOH \) к длине высоты основного треугольника конуса, и оно равно \(\frac{1}{2}\).

Чтобы найти объем части конуса, получаемой плоскостью, параллельной основанию и проходящей через середину высоты, нужно взять половину объема целого конуса.

Таким образом, объем этой части конуса равен \(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \pi r^2 h\), что равно \(\frac{1}{6} \pi r^2 h\).

Таким образом, часть объема конуса, получаемая плоскостью, параллельной основанию и проходящей через середину высоты, составляет \(\frac{1}{6}\) от объема данного конуса.

Надеюсь, это пошаговое объяснение поможет вам лучше понять данный вопрос и получить требуемый ответ. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать.