Яка є амплітуда і циклічна частота коливань тягарця пружинного маятника, якщо його координата змінюється з часом згідно

Сверкающий_Гном

49

Для решения этой задачи нам необходимо разобраться в определении амплитуды и циклической частоты колебаний.

Амплитуда колебаний — это максимальное значение координаты объекта при колебаниях. В данном случае, амплитуда будет равна 0,3.

Циклическая частота колебаний, обозначаемая обычно буквой \(\omega\), обозначает количество полных колебаний, выполняемых объектом за единицу времени. Циклическая частота выражается в радианах в секунду. Для нахождения циклической частоты, мы должны знать период колебаний. Период колебаний — это время, за которое объект выполняет одно полное колебание. Формула связи между периодом колебаний и циклической частотой выглядит следующим образом: \(\omega = \frac{2\pi}{T}\).

Заданный закон движения тягарца пружинного маятника представлен уравнением \(x = 0.3 \cos(4\pi t)\). Здесь \(x\) — это координата тягарца в зависимости от времени \(t\).

Частота колебаний \(f\) связана с циклической частотой \(\omega\) такой формулой: \(f = \frac{\omega}{2\pi}\).

Для нахождения циклической частоты и частоты колебаний из данного уравнения, нам нужно найти \(t\) такое, что \(x = 0\).

Подставим \(x = 0\) в уравнение \(x = 0.3 \cos(4\pi t)\):
\[0 = 0.3 \cos(4\pi t)\]

Так как косинус является функцией, принимающей значения от -1 до 1, то чтобы уравнение равнялось нулю, необходимо, чтобы косинус был равен нулю. То есть:
\[4\pi t = \frac{\pi}{2} + k\pi\]
где \(k\) — целое число.

Решим это уравнение относительно \(t\):
\[t = \frac{1}{8} + \frac{k}{4}\]

Теперь, чтобы найти циклическую частоту и частоту колебаний, мы знаем, что период колебаний равен времени \(T\) между двумя последовательными нулями функции \(x(t)\).

Из выражения для \(t\) мы можем сделать вывод, что период колебаний равен \(\frac{1}{4}\). Таким образом, циклическая частота \(\omega\) равна:
\[\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\frac{1}{4}} = 8\pi\]

А частота колебаний \(f\) равна:
\[f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{8\pi}{2\pi} = 4\]

Итак, амплитуда колебаний тягарца пружинного маятника равна 0,3, циклическая частота равна \(8\pi\), а частота колебаний равна 4.