Яка амплітуда коливань пружинного маятника, якщо він пройшов відстань 1,4 м за 7,7 секунди свого періоду коливань?

Magnitnyy_Lovec

42

Для решения данной задачи мы можем использовать формулу для периода колебаний пружинного маятника:

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}, \]

где \( T \) - период колебаний, \( m \) - масса маятника, а \( k \) - коэффициент жесткости пружины.

Нам известно, что маятник прошел расстояние 1,4 м за время, равное его периоду колебаний, т.е. 7,7 секунд. Так как мы не знаем массу маятника и коэффициент жесткости пружины, нам необходимо их определить.

Для определения массы маятника можно воспользоваться известной формулой:

\[ m = \frac{F}{g}, \]

где \( F \) - сила притяжения маятника, \( g \) - ускорение свободного падения.

В данной задаче предполагается, что маятник движется в условиях свободного падения, поэтому сила притяжения маятника будет равна его весу. Таким образом, массу можно выразить как:

\[ m = \frac{F}{g} = \frac{mg}{g} = m. \]

Теперь найдем коэффициент жесткости пружины. Он определяется как:

\[ k = \frac{F}{x}, \]

где \( F \) - сила, действующая на пружину, \( x \) - величина смещения от положения равновесия.

В данной задаче пружинный маятник движется гармонически, поэтому сила, действующая на него, будет пропорциональна смещению и направлена в сторону положения равновесия. Значит, нашу формулу можно записать как:

\[ k = \frac{F}{x} = \frac{mg}{x}. \]

Теперь мы можем выразить амплитуду колебаний, зная значения массы маятника и коэффициента жесткости пружины.

\[ A = x = \frac{T^2}{4\pi^2}\sqrt{\frac{mg}{k}}. \]

Подставим известные значения в данную формулу и рассчитаем амплитуду колебаний:

\[ A = x = \frac{(7,7)^2}{4\pi^2}\sqrt{\frac{mg}{\frac{mg}{x}}}. \]

Упростим выражение:

\[ A = x = \frac{60,7189}{4\pi^2}. \]

Таким образом, амплитуда колебаний пружинного маятника составляет примерно 1,2 м.