Яка буде позиція спільного центру тяжіння двох куль і стержня, якщо маси куль складають 3 кг і 5 кг відповідно, а маса

Мурзик

47

Для розв"язання цієї задачі, нам необхідно знайти позицію спільного центру тяжіння системи, яка складається з двох куль і стержня. Центр тяжіння (ЦТ) - це точка, в якій можна розмістити всю масу системи так, щоб не відчути зовнішній момент сил.

Для початку, знайдемо масу всієї системи. Маса системи складається з мас двох куль і маси стержня:

\[M = маса_1 + маса_2 + маса_стержня\]

Підставимо відповідні значення:

\[M = 3 \, кг + 5 \, кг + 2 \, кг = 10 \, кг\]

Наступною кроком є знаходження відстаней від ЦТ до центрів куль і стержня. Означимо радіуси першої та другої кулі як \(r_1\) і \(r_2\) відповідно, а довжину стержня як \(L\).

Позначимо відстань від ЦТ до центру першої кулі як \(d_1\) і відстань від ЦТ до центру другої кулі як \(d_2\).

Припустимо, що ЦТ знаходиться на ділянці стержня між центрами куль. Тоді відстань від ЦТ до центру стержня дорівнюватиме половині довжини стержня: \(d_стержня = \frac{L}{2}\).

Враховуючи це, знайдемо відстані від ЦТ до центрів куль:

\[d_1 = d_стержня - r_1\]
\[d_2 = d_стержня + r_2\]

Підставимо відомі значення:

\[d_1 = \frac{L}{2} - 5 \, см\]
\[d_2 = \frac{L}{2} + 7 \, см\]

На останньому кроці, знайдемо позицію ЦТ. Центр тяжіння системи знаходиться за формулою спільного центра тяжіння:

\[ЦТ = \frac{момент_1 + момент_2 + момент_стержня}{M}\]

Моменти сил \(момент_1\) і \(момент_2\) куль можна знайти, використовуючи величину маси кулі і відстані від ЦТ до центру кулі:

\[момент_1 = маса_1 \cdot d_1\]
\[момент_2 = маса_2 \cdot d_2\]

Момент сили стержня \(момент_стержня\) також можна знайти, використовуючи масу стержня і відстань від ЦТ до центру стержня:

\[момент_стержня = маса_стержня \cdot d_стержня\]

Тепер, підставимо відомі значення:

\[момент_1 = 3 \, кг \cdot ( \frac{L}{2} - 5 \, см )\]
\[момент_2 = 5 \, кг \cdot ( \frac{L}{2} + 7 \, см )\]
\[момент_стержня = 2 \, кг \cdot ( \frac{L}{2} )\]

З"єднавши всі ці значення, отримуємо:

\[ЦТ = \frac{момент_1 + момент_2 + момент_стержня}{M}\]

\[ЦТ = \frac{3 \, кг \cdot ( \frac{L}{2} - 5 \, см ) + 5 \, кг \cdot ( \frac{L}{2} + 7 \, см ) + 2 \, кг \cdot ( \frac{L}{2} )}{10 \, кг}\]

\[ЦТ = \frac{ \frac{3L}{2} - 15 \, см + \frac{5L}{2} + 35 \, см + \frac{L}{2} }{10 \, кг}\]

Спрощуючи вираз, отримуємо:

\[ЦТ = \frac{4L}{10} = \frac{2L}{5}\]

Таким чином, позиція спільного центру тяжіння двох куль і стержня може бути виражена як \(\frac{2L}{5}\). Потрібно знайти значення довжини стержня \(L\), щоб визначити конкретне положення ЦТ.