Яка буде швидкість куль після непружного зіткнення, якшо дві кулі масою 1 кг і 0.5 кг рухаються назустріч одна одній

Fedor

44

Для того чтобы решить эту задачу, мы можем использовать законы сохранения импульса и энергии.

Закон сохранения импульса гласит, что если на систему не действуют внешние силы, то сумма импульсов системы до и после взаимодействия остается постоянной. Импульс \( p \) определяется по формуле:

\[ p = mv \]

где \( m \) - масса тела, а \( v \) - его скорость.

Таким образом, сумма импульсов двух тел до столкновения должна быть равна сумме импульсов после столкновения.

Дано, что первая куля массой \( m_1 = 1 \) кг имеет скорость до столкновения \( v_1 = 5 \) м/с, а вторая куля массой \( m_2 = 0.5 \) кг имеет скорость до столкновения \( v_2 = 4 \) м/с.

Сумма импульсов до столкновения:

\[ p_{\text{до}} = m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 \]

\[ p_{\text{до}} = 1 \cdot 5 + 0.5 \cdot 4 \]

\[ p_{\text{до}} = 5 + 2 = 7 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} \]

Согласно закону сохранения импульса, сумма импульсов после столкновения также должна быть равна \( 7 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} \).

Теперь, чтобы найти скорость куль после столкновения, нам понадобится использовать закон сохранения энергии. Закон сохранения энергии гласит, что в системе, где нет внешних сил, полная механическая энергия остается постоянной.

Механическая энергия определяется по формуле:

\[ E = \frac{1}{2} m v^2 \]

где \( m \) - масса тела, а \( v \) - его скорость.

Используя эту формулу, найдем механическую энергию перед столкновением для первой кули:

\[ E_{1,\text{до}} = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 \]

\[ E_{1,\text{до}} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 5^2 \]

\[ E_{1,\text{до}} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 25 \]

\[ E_{1,\text{до}} = \frac{25}{2} = 12.5 \, \text{Дж} \]

Аналогично найдем механическую энергию перед столкновением для второй кули:

\[ E_{2,\text{до}} = \frac{1}{2} m_2 v_2^2 \]

\[ E_{2,\text{до}} = \frac{1}{2} \cdot 0.5 \cdot 4^2 \]

\[ E_{2,\text{до}} = \frac{1}{2} \cdot 0.5 \cdot 16 \]

\[ E_{2,\text{до}} = \frac{16}{2} = 8 \, \text{Дж} \]

Сумма механических энергий перед столкновением:

\[ E_{\text{до}} = E_{1,\text{до}} + E_{2,\text{до}} \]

\[ E_{\text{до}} = 12.5 + 8 = 20.5 \, \text{Дж} \]

Согласно закону сохранения энергии, сумма механических энергий после столкновения также должна быть равна \( 20.5 \, \text{Дж} \).

Теперь мы можем найти скорости куль после столкновения, используя закон сохранения энергии.

Обозначим скорость первой кули после столкновения как \( v_1" \), а скорость второй кули после столкновения как \( v_2" \).

Сумма механических энергий после столкновения:

\[ E_{\text{після}} = \frac{1}{2} m_1 (v_1")^2 + \frac{1}{2} m_2 (v_2")^2 \]

Так как столкновение непружное, то кули сливаются в одно тело и движутся с общей скоростью \( V \) после столкновения.

Импульс \( p \) общего тела после столкновения:

\[ p_{\text{після}} = (m_1 + m_2) \cdot V \]

Согласно закону сохранения импульса, сумма импульсов до столкновения должна быть равна сумме импульсов после столкновения:

\[ p_{\text{до}} = p_{\text{після}} \]

\[ m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = (m_1 + m_2) \cdot V \]

Подставим значения:

\[ 1 \cdot 5 + 0.5 \cdot 4 = (1 + 0.5) \cdot V \]

\[ 5 + 2 = 1.5 \cdot V \]

\[ 7 = 1.5 \cdot V \]

\[ V = \frac{7}{1.5} \, \text{м/с} \]

\[ V \approx 4.67 \, \text{м/с} \]

Теперь, найдем скорости куль после столкновения, подставляя значение \( V \):

\[ v_1" = V \]

\[ v_1" \approx 4.67 \, \text{м/с} \]

\[ v_2" = V \]

\[ v_2" \approx 4.67 \, \text{м/с} \]

Таким образом, скорости куль после столкновения будут примерно равны \( 4.67 \, \text{м/с} \).

Чтобы определить направление движения куль после столкновения, воспользуемся законом сохранения импульса.

Сумма импульсов после столкновения равна сумме импульсов до столкновения:

\[ m_1 \cdot v_1" + m_2 \cdot v_2" = m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 \]

Подставим значения:

\[ 1 \cdot 4.67 + 0.5 \cdot 4.67 = 1 \cdot 5 + 0.5 \cdot 4 \]

\[ 4.67 + 2.335 = 5 + 2 \]

\[ 7.005 = 7 \]

Импульс после столкновения также равен импульсу до столкновения, что означает, что направление движения куль сохраняется после столкновения. Таким образом, кули будут продолжать движение в том же направлении, что и до столкновения.