Яка буде сума площ усіх квадратів, які вписані один в одного у квадрат зі стороною

Лесной_Дух

22

Для решения этой задачи нам нужно рассмотреть последовательность квадратов, вписанных один в другой внутри большего квадрата. Давайте начнем с самого внутреннего квадрата и постепенно будем двигаться к внешним квадратам, чтобы найти сумму их площадей.

Предположим, что сторона самого внутреннего квадрата равна \(l\). Тогда его площадь будет равна \(S_1 = l^2\).

Следующий квадрат будет вписан внутрь первого квадрата, и его сторона будет меньше стороны первого квадрата. Пусть сторона второго квадрата будет равна \(l_2\). Тогда его площадь будет равна \(S_2 = (l - l_2)^2\).

Мы можем продолжить этот процесс для каждого последующего квадрата, предполагая, что сторона каждого следующего квадрата будет равна \(l_n\), где \(n\) - номер квадрата. Тогда площадь каждого квадрата будет равна \(S_n = (l - l_n)^2\).

Мы знаем, что квадраты вписаны друг в друга, поэтому для каждого следующего квадрата сторона будет меньше предыдущей стороны, то есть \(l_n < l_{n-1} < \ldots < l_1\).

Теперь давайте найдем сумму всех площадей этих вписанных квадратов. Мы можем записать это как:

\[S_{\text{общ}} = S_1 + S_2 + S_3 + \ldots + S_n\]

Заменим значения площадей \(S_n\) согласно нашему предыдущему обсуждению:

\[S_{\text{общ}} = l^2 + (l - l_2)^2 + (l - l_3)^2 + \ldots + (l - l_n)^2\]

Таким образом, мы получили сумму площадей всех вписанных квадратов.

Зная, что каждый следующий квадрат имеет сторону меньше предыдущего, мы можем заметить, что сумма площадей будет приближаться к площади начального квадрата, то есть \(l^2\) при увеличении количества вписанных квадратов.

Таким образом, сумма площадей всех вписанных квадратов будет стремиться к \(l^2\), где \(l\) - сторона исходного, наибольшего квадрата.